Bài tập có đáp án chi tiết về hệ phương trình môn toán trung tâm luyện thi đại học thành phố huế

Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải. Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

2015- 2016

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 1

HỆ PHƢƠNG TRÌNH

Bài 1. Giải hệ phương trình:  

2

2

a 1 x a y a z a 3 a x,y a 1 a x a y a z 3 a

                    

(Trích đề thi thử tuyển sinh quốc gia số 19 – 2015)

Giải

Xét các véc-tơ:     u x a; y a; z a , v 1;1;1     

 

    

2 2 2

2

u.v u . v

x a y a z a 3 3a x y z 1

 

         

Tương tự     2 a x a y a z 3 3a x y z 2         

    2 2 x a y a z a a x a y a z 18a             

Mà cộng hai phương trình của hệ ta có:

    2 2 x a y a z a a x a y a z 18a            

Tức là dấu đẳng thức phải xảy ra trong các bất đẳng thức (1) và (2), hay:

2

2

a 1 x a y a z a 1 a x y z a a 1 a x a y a z a

                       

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1 x y z a   

Bài 2. Giải hệ phương trình    2 2 2x 1 4x y 1 y 1

x x y xy 1 2xy x y 1

              

(Trích Trƣờng THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh lần 1 – 2015)

Giải

www.boxtailieu.net

Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải. Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

2015- 2016

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 2

   



2 2 2x 1 4x y 1 y 1 1

x x y xy 1 2xy x y 1 2

              

. Điều kiện  x y xy 1 0 *    .

Vì 2 t 1 t 0    nên



  

2 2 2 2

2 2

2 2

4x y 1 2x 1 4x 1 y y 2x y 0 1 4x 1 y

2x y 1 4x 1 y 2x y 0 2x y 0 y 2x

             

            

Thay y 2x  vào (2) ta được 2 2 x 3x 2x 1 4x 3x 1    

2 2 2 3 1 3 1 x x 2 x 4 x x x x            

. Đặt 2 3 1 t x x  

Khi x 0  ta được t 2 t 4 t 7    . Từ đó kết hợp với x 0  ta được

3 37 3 37 x ;y 14 7     thỏa mãn điều kiện (*)

Khi x 0  ta được t 2 t 4 t 2     . Từ đó kết hợp với x 0  ta được

3 17 17 3 x ;y 4 2     thỏa mãn điều kiện (*). Vậy hệ có 2 cặp nghiệm…

Bài 3. Giải hệ phương trình  

 

 

2 2 x 4y x 5 1 4y x 2 2y

x,y 4y x 4 x 2 x 1

        

    

(Trích Tƣờng THPT Chuyên Quốc học – Huế lần 1 – 2015)

Giải

  

  

2 2 x 4y x 5 1 4y x 2 2y 1

4y x 4 x 2 x 1 2

      

    

Điều kiện x 1 y 0    

. Với điều kiện đó

 2 2 1 x 4xy 20y 1 4y x 2 2y      

 2 4xy 16y 2 x 1 x     . Thay vào (1) ta có

    2 2 x 2 x 1 2y 1 2 2y 1 1      

www.boxtailieu.net

Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải. Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

2015- 2016

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133 Page 3

Xét hàm số  2 u g t t 2 t 1     với   t 1;  . Hàm số này luôn đồng biến.

Vì thế     2 2 x 2 x 1 2y 1 2 2y 1 1 x 2y 1 x 1 2y         

Thay vào (2) ta được

   

2 2 2 x 1 2x 2 2 1 2x 9x 8 2 x 1 2 x 2 x 1 1

x 1 2x 2 2 1

           

   

  2 2x 9 2 2 x 10 4 2 0 x 1 2x 2 2 1

2x 2 2 1 0

         

   

Phương trình bậc hai   2 2x 9 2 2 x 10 4 2 0      có  

2 Δ 2 2 1   nên có

hai nghiệm là 1 2 5 2 2 x ;x 2 2    . Nghiệm 2 x bị loại vì 2 2x 2 2 1 0  

Hoàn toàn tương tự ta có 5 2 2 x 1 2x 2 2 1 x 2     

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 5 2 2 3 2 2 ; 2 4

         

và 5 2 2 3 2 2 ; 2 4

         

Bài 4. Giải hệ phương trình     

 

 

3 2

3 2 3

1 y x 3y 3 x y 1 . x

x,y x y 2 x 4 2 y 2

                

(Trích Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định – 2015)

Giải

     

  



3 2

3 2 3

1 y x 3y 3 x y 1 . x 1

I x y 2 x 4 2 y 2 2

              

Điều kiện:

2 2 x y 0 x y x 0,y 1 x 1,y 1

                 

Nhận xét x 1,y 1   không là nghiệm của hệ. Xét y 1  thì pt (1) của hệ (I)

       

2 2 2 x x x x x y 1 3 y 1 y 1 x y 1 0 3 0 y 1 y 1 y 1 …