Bài tập có đáp án chi tiết về sử dụng đồ thị hàm số lồi lõm để đánh giá bất đẳng thức môn toán

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 1

KHAI THÁC KHÁI NIỆM ðỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LÕM

ðỂ ðÁNH GIÁ BẤT ðẲNG THỨC

I. LÝ DO CHỌN ðỀ TÀI

Ứng dụng hàm lồi ñể ñánh giá bất ñẳng thức (BðT) ñã ñược khai thác nhiều và

ñại diện cho ứng dụng ñó là BðT Jensen. Khái niệm hàm lồi trong chương trình

SGK cũ và mới (bài ñọc thêm) ñược ñịnh nghĩa dựa vào vị trí nằm trên, nằm dưới

của tiếp tuyến với ñồ thị hàm số. Trong ñịnh nghĩa ñó, ñã cho ta một tính chất hình

học của tiếp tuyến. ðó là: ta có thể ñánh giá ( ) f x thông qua một biểu thức bậc nhất

của x . Vận dụng tính chất này, ta có thể tìm ñược lời giải ñơn giản cho một số bài

toán chứng minh BðT. Hơn nữa thông qua ñó ñể chúng ta thấy ñược việc dạy cho

HS Bản chất của các khái niệm Toán học rất quan trọng trong phát triển tư duy cho

học sinh. ðó là lí do mà tôi chọn ñề tài “Khai thác khái niệm ñồ thị hàm số lồi, lõm

ñể ñánh giá BðT”

II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ðỀ

TÀI:

1. Thuận lợi:

Với sự ñổi mới phương pháp dạy học trung học phổ thông lấy học sinh làm

trung tâm và tạo sự hứng thú trong học tập. Học sinh chủ ñộng chiếm lĩnh tri

thức. Do ñó, việc dạy cho học sinh nắm ñược bản chất của một khái niệm

Toán học hết sức quan trọng

2. Khó khăn:

Khi dạy khái niệm Toán học giáo viên chưa chú trọng nhiều vào việc dạy

cho học sinh nắm ñược bản chất của khái niệm mà chủ yếu tập trung vào việc

khảo sát các ñối tướng có thuộc về khái niệm ñó hay không?. Do ñó học sinh

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 2

cũng ít quan tâm ñến bản chất cảu khái niệm ñã học nên một phần nào ñó hạn

chế việc phát triển tư duy cũng như sự hứng thú trong học tập.

III. NỘI DUNG ðỀ TÀI

1. Cơ sở lí thuyết.

a. ðịnh nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục [ ; ] a b và có ñồ thị là (C). Khi ñó ta có hai

ñiểm ( ; ( )), ( ; ( )) A a f a B b f b nằm trên ñồ thị (C).

i) ðồ thị (C) gọi là lồi trên ( ; ) a b nếu tiếp tuyến tại mọi ñiểm nằm trên cung AB

luôn nằm phía trên ñồ thị (C).

ii) ðồ thị (C) gọi là lõm trên ( ; ) a b nếu tiếp tuyến tại mọi ñiểm nằm trên cung AB

luôn nằm phía dưới ñồ thị (C).

b. Dấu hiệu ñồ thị lồi

ðịnh lí 1: Cho hàm số ( ) y f x = có ñạo hàm cấp hai liên tục trên ( ) ; a b

* Nếu ( ) ''( ) 0 ; f x x a b > ∀∈ thì ñồ thị hàm số lõm trên ( ; ) a b

* Nếu ( ) ''( ) 0 ; f x x a b < ∀∈ thì ñồ thị hàm số lồi trên ( ) ; a b

c. Ứng dụng

Từ hình ảnh trực quan của ñịnh nghĩa cho ta một phương pháp giải các bài toán BðT

và cực trị sau :

ðịnh lí 2: (Bất ñẳng thức tiếp tuyến)

ðồ thị hàm lõm

_x

_y

a _b _1

ðồ thị hàm số lồi

_x

_y

_b _a

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 3

Cho hàm số ( ) y f x = liên tục và có ñạo hàm ñến cấp hai trên [a;b] .

i) Nếu ''( ) 0 [ ; ] f x x a b ≥ ∀∈ thì 0 0 0 0 ( ) '( )( ) ( ) [ ; ] f x f x x x f x x a b ≥ − + ∀ ∈

ii) Nếu ''( ) 0 [ ; ] f x x a b ≤ ∀∈ thì 0 0 0 0 ( ) '( )( ) ( ) [ ; ] f x f x x x f x x a b ≤ − + ∀ ∈

ðẳng thức trong hai Bất ñẳng thức trên xảy ra 0 x x ⇔ = .

Ta có thể chứng minh ñịnh lí trên như sau

i) Xét hàm số 0 0 0 ( ) ( ) '( )( ) ( ) g x f x f x x x f x = − − − , [ ; ] x a b ∈ Ta có : 0 '( ) '( ) '( ) ''( ) ''( ) 0 [ ; ] g x f x f x g x f x x a b = − ⇒ = ≥ ∀∈

0 '( ) 0 g x x x ⇒ = ⇔ = và '( ) g x ñổi dấu từ − sang + khi x qua 0 x nên ta có :

0 ( ) ( ) 0 [ ; ] g x g x x a b ≥ = ∀∈ . ii) Chứng minh tương tự.

ðịnh lí 3: (Bất ñẳng thức cát tuyến)

Cho hàm số ( ) y f x = liên tục và có ñạo hàm ñến cấp hai trên [a;b] .

i) Nếu ''( ) 0 [ ; ] f x x a b ≥ ∀∈ thì 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ; ] f a f b f x x a f a x a b a b − ≥ − + ∀ ∈ −

ii) Nếu ''( ) 0 [ ; ] f x x a b ≤ ∀∈ thì 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ; ] f a f b f x x a f a x a b a b − ≤ − + ∀ ∈ − .

ðẳng thức trong các BðT trên có khi và chỉ khi x a = hoặc x b = .

2. Nội dung, biện pháp thực hiện giải pháp của ñề tài:

Ví dụ 1: Cho các số thực dương , , a b c thỏa 1 a b c + + = . Chứng minh rằng

2 2 2

3

10 1 1 1

a b c

a b c + + ≤ + + + .

Giải: Xét hàm số

2 ( )

1

x f x

x =

+

với (0;1) x ∈ .

Ta có:

2 3 2 5

1 3 '( ) …