Xem trước nội dung
Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Bài 1 : Giải bất phương trình (x −1) √
x2 −2x + 5 −4x √
x2 + 1 ≥2 (x + 1)
Lời giải tham khảo :
(x −1) √
x2 −2x + 5 −4x √
x2 + 1 ≥2 (x + 1)
⇔(x + 1) 2 + √
x2 −2x + 5 + 2x 2 √
x2 + 1 − √
x2 −2x + 5 ≤0
⇔(x + 1) 2 + √
x2 −2x + 5 + 2x (4x2 + 4 −x2 + 2x −5)
2 √
x2 + 1 + √
x2 −2x + 5 ≤0
⇔(x + 1) 2 + √
x2 −2x + 5 + 2x (x + 1) (3x −1) 2 √
x2 + 1 + √
x2 −2x + 5 ≤0
⇔(x + 1) 2 + √
x2 −2x + 5 + 2x (3x −1) 2 √
x2 + 1 + √
x2 −2x + 5
≤0
⇔(x + 1)
" 4 √
x2 + 1 + 2 √
x2 −2x + 5 + 2 p
(x2 + 1) (x2 −2x + 5) + (7x2 −4x + 5) 2 √
x2 + 1 + √
x2 −2x + 5
#
≤0
Có 7x2 −4x + 5 = 7 x2 −4
7x + 4
49
+ 31
7 ≥31
7 nên biểu thức trong ngoặc luôn > 0.
Do đó bất phương trình ⇔x + 1 ≤0 ⇔x ≤−1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = (−∞; −1]
Bài 2 : Giải bất phương trình √x + 2 + x2 −x + 2 ≤√3x −2
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x ≥2
3
bpt ⇔√x + 2 −√3x −2 + x2 −x −2 ≤0
⇔ −2 (x −2) √x + 2 + √3x −2 + (x −2) (x + 1) ≤0
⇔(x −2) −2 √x + 2 + √3x −2 + x + 1 ≤0
—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 1
www.VNMATH.com
Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Xét f (x) = −2 √x + 2 + √3x −2 + x + 1 ⇒f ′ (x) =
1 √x + 2 + 3 √3x −2 √x + 2 + √3x −2 + 1 > 0
⇒f (x) ≥f 2
3 > 0
Do đó bất phương trình ⇔x −2 ≤0 ⇔x ≤2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = 2
3; 2
Bài 3 : Giải bất phương trình 4√x + 1 + 2√2x + 3 ≤(x −1) (x2 −2)
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x ≥−1
Nhận thấy x = - 1 là một nghiệm của bất phương trình
Xét x > - 1 ta có bất phương trình tương đương với
4 √x + 1 −2 + 2 √2x + 3 −3 ≤x3 −x2 −2x −12
⇔ 4 (x −3) √x + 1 + 2 + 4 (x −3) √2x + 3 + 3 ≤(x −3) (x2 + 2x + 4)
⇔(x −3) 4 √x + 1 + 2 + 4 √2x + 3 + 3 −(x + 1)2 −3 ≤0
Vì x > - 1 nên √x + 1 > 0 và √2x + 3 > 1 ⇒ 4 √x + 1 + 2 + 4 √2x + 3 + 3 < 3
Do đó 4 √x + 1 + 2 + 4 √2x + 3 + 3 −(x + 1)2 −3 < 0
Suy ra bất phương trình ⇔x −3 ≥0 ⇔x ≥3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = {1} ∪[3; +∞)
Bài 4 : Giải bất phương trình
p
x (x + 2) q
(x + 1)3 −√x ≥1
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x ≥0 . Khi x ≥0 ta có q
(x + 1)3 −√x > 0
—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 2
www.VNMATH.com
Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
p
x (x + 2) q
(x + 1)3 −√x ≥1 ⇔ p
x (x + 2) ≥ q
(x + 1)3 −√x
⇔x2 + 2x ≥x3 + 3x2 + 4x + 1 −2 (x + 1) p
x (x + 1)
⇔x3 + 2x2 + 2x + 1 −2 (x + 1) √
x2 + x ≤0
⇔(x + 1) x2 + x + 1 −2 √
x2 + x ≤0
⇔x2 + x + 1 −2 √
x2 + x ≤0 ⇔ √
x2 + x −1 2 ≤0
⇔ √
x2 + x = 1 ⇔x = −1 ± √
5 2
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x =
√
5 −1
2
Bài 5 : Giải bất phương trình 1 √x + 2 − 1 √−x −1 −2
3x ≥1
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : −2 < x < −1 (∗)
bpt ⇔3 1 √x + 2 − 1 √−x −1
≥ √x + 2 2 − √−x −1 2
⇔3 ≥√x + 2√−x −1 √x + 2 −√−x −1
Đặt a = √x + 2 −√−x −1 ⇒√x + 2.√−x −1 = 1 −a2
2
Ta được bất phương trình a −a3
2 ≤3 ⇔a3 −a+6 ≥0 ⇔(a + 2) (a2 −2a + 3) ≥0 ⇔ a ≥−2
⇒√x + 2 −√−x −1 ≥−2 ⇔√x + 2 + 2 ≥√−x −1 ⇔x + 6 + 4√x + 2 ≥−x −1
⇔4√x + 2 ≥−(2x + 7) (1)
(1) luôn đúng với điều kiện (*). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = (−2; −1)
Bài 6 : Giải bất phương trình √x + 1 √x + 1 −√3 −x > x −1
2
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x ∈[−1; 3] \ {1}
—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 3
www.VNMATH.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
