Xem trước nội dung
INEQ Đểhọc giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Chúng ta sẽrèn luyện chuyên đềtìm GTLN, GTNN thông qua hai bước chính
1. Ôn tập các kiến thức vềbất đẳng thức (tập trung vào AM - GM và CBS).
2. Sửdụng kiến thức vềbất đẳng thức AM - GM và CBS kết hợp với công cụkhảo sát hàm sốđểgiải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN.
1 http://toanlihoasinh.blogspot.com/
Chương 1
Kiến thức căn bản
1.1. Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Bunyakovky - Schwarz
Đây là hai bất đẳng thức được sửdụng rất nhiều trong việc chứng minh. Sau đây chúng ta nhắc lại hai kết quảquan trọng đó.
1.1.1 Định lí (Bất đẳng thức AM - GM). Cho 3 sốkhông âm a, b, c. Khi đó
(i) a + b ≥2 √
ab
(ii) a + b + c ≥3 3√
abc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉkhi a = b = c.
1.1.2 Định lí (Bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovky - Schwarz). Cho hai bộsốa, b, c và x, y, z. Khi đó
(i) (a2 + b2)(x2 + y2) ≥(ax + by)2
(ii) (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥(ax + by + cz)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉkhi hai bộsốnày tỉlệa : b : c = x : y : z.
Từhai kết quảquan trọng này, chúng ta dễdàng chứng minh được một sốkết quảquan trọng sau
1.1.3 Mệnh đề. Chứng minh các bất đẳng thức sau (nếu điều kiện không có gì đặc biệt thì các sốđều dương)
(i) (a + b) 1
a + 1
b
≥4, (a + b + c) 1
a + 1
b + 1
b
≥9
(ii) a3 + b3 ≥ab(a + b), a3 + b3 ≥(a + b)3
4 .
(iii) 1 a + b ≤1
4
1
a + 1
b
, 1 a + b + c ≤1
9
1
a + 1
b + 1
c
5 http://toanlihoasinh.blogspot.com/
INEQ Đểhọc giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
(iv) Cauchy - Schwarz dạng angel.
a2
x + b2
y + c2
z ≥(a + b + c)2
x + y + z , a, b, c ∈R
(v)
√
a2 + x2 + p
b2 + y2 + √
c2 + z2 ≥ p
(a + b + c)2 + (x + y + z)2,
∀a, b, c, x, y, z ∈R.
(vi) (1 + a)(1 + b) ≥(1 + √
ab)2, (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥(1 + 3√
abc)3.
(vii) 1 (1 + a)2 + 1 (1 + b)2 ≥ 1 1 + ab.
(viii) 1 1 + a2 + 1 1 + b2 ≤ 2 1 + ab với ab ≤1.
1.2. Chọn điểm rơi
Vấn đềquan trọng nhất của việc sửdụng hai bất đẳng thức nói trên nằm ởviệc chọn điểm rơi. Ta xét ví dụquan trọng sau
1.2.1 Ví dụ. Cho các sốdương x, y, z thoản mãn xyz = 1. Chứng minh rằng p
1 + x3 + y3
xy +
p
1 + y3 + z3
yz +
√
1 + z3 + x3
zx ≥3 √
3.
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Giải. Trước khi giải bài toán ta cần phân tích một chút: bài toán cho những biểu thức chứa mũ bậc 3 và các sốđều dương. Vậy ta có thểáp dụng bất đẳng thức AM - GM được không? Nếu áp dụng thì cho mấy sốvà đó là những sốnào? Trởlại yêu cầu của bài toán, dấu “=” xảy ra khi nào? Ta nhận thấy bài toán có tính đối xứng với x, y, z, thếthì có khảnăng dấu bằng xảy ra khi x = y = z. Kết hợp với giảthiết xyz = 1 dẫn đến x = y = z = 1. Với việc dự đoán điểm rơi này, ta sẽkhống chếtoàn bộcác dấu “=” trong quá trình chứng minh của mình. Theo quá trình phân tích, ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số1, x3, y3 như sau
1 + x3 + y3 ≥3 3p
1.x3.y3 = 3xy
suy ra p
1 + x3 + y3
xy ≥ √3xy
xy =
√
3 √xy = √
3z.
Tương tựta có p
1 + y3 + z3
yz ≥ √
3x
√
1 + z3 + x3
zx ≥ p
3y
6 http://toanlihoasinh.blogspot.com/
INEQ Đểhọc giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Cộng theo vếta được p
1 + x3 + y3
xy +
p
1 + y3 + z3
yz +
√
1 + z3 + x3
zx ≥ √
3 √x + √y + √z
≥ √
3.3 3q√x√y√z = 3 √
3.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉkhi
( 1 = x3 = y3
x = y = z hay x = y = z = 1. □
Với việc dựđoán điểm rơi x = y = z = 1 đã giúp chúng ta lựa chọn bất đẳng thức và số thích hợp đểáp dụng. Tiếp theo là một ví dụthểhiện rõ điều đó.
1.2.2 Ví dụ. Cho x ≥2, y ≥3, z ≥4. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức
P = xy√z −4 + yz√x −2 + xz√y −3
xyz .
Giải. Bài toán yêu cầu tìm giá trịlớn nhất, từđây ta chuyển vềđánh giá P ≤C với C là một hằng sốnào đó. Đểđơn giản hơn, ta biến đổi P về
P = √z −4
z + √x −2
x + √y −3
y .
Do yêu cầu phải đánh giá P ≤C, nên ta sẽlần lượt đánh giá từng sốhạng. Cụthểta sẽcố gắng đánh giá √z −4
z ≤m
Biểu thức √z −4 làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức AM - GM, nhiệm vụlà ta chọn sốk sao cho biểu thức sau khi đánh giá có thểđơn giản với z ởmẫu p
k(z −4) ≤k + z −4
2
Nhận thấy ngay giá trịk nhận chính là 4. …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
