Bài tập có đáp án chi tiết về sử dụng tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức môn toán của thầy nguyễn tất thu

Chuyên ñ s d ng ti p tuy n ñ tìm l i gi i trong ch ng minh b t ñ ng th c

GV: Nguyễn Tất Thu GV: Nguyễn Tất Thu GV: Nguyễn Tất Thu GV: Nguyễn Tất Thu Năm học 2005 Năm học 2005 Năm học 2005 Năm học 2005 – 2006 2006 2006 2006 1

SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN ðỂ TÌM LỜI GIẢI TRONG CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC Ta biết tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y=f(x) tại mọi ñiểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên ñồ thị và tiếp tuyến tại mọi ñiểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới ñồ thị, còn tại ñiểm uốn của ñồ thị thì tiếp tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét sau. Nhận xét. Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( ) y f x = tại ñiểm 0 0 ( ; ) A x y ( A không phải là ñiểm uốn), khi ñó tồn tại một khoảng ( ; ) α β chứa ñiểm x0 sao cho ( ) ( ; ) f x ax b x α β ≥ + ∀∈ hoặc ( ) ( ; ) ≤ + ∀∈ f x ax b x α β . ðẳng thức xảy ra khi x=x0 Từ ñây ta có: + + + ≥ + + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ... ) n n f x f x f x a x x x nb (hoặc + + + ≤ + + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ... ) 3 n n f x f x f x a x x x n ) (*) với mọi ∈ 1 2 , ,..., ( ; ) n x x x α β và ñẳng thức xảy ra khi 1 2 n 0 x x ... x x = = = = .

Nếu các biến = = ∑ 1 coù toång (k khoâng ñoåi) n

i i i x x k thì (*) ñược viết lại dưới dạng sau

+ + + ≥ + 1 2 ( ) ( ) ... ( ) n f x f x f x ak nb ( hoặc + + + ≤ + 1 2 ( ) ( ) ... ( ) n f x f x f x ak nb )(**). Bây giờ ta vận dụng nhận xét này ñể chứng minh một số bất ñẳng thức. Bài toán 1. Cho , , ∈ a b c R và 6 a b c + + = . Cmr : + + ≥ + + 4 4 4 3 3 3 2( ) a b c a b c Nhận xét. Ta thấy ñẳng thức xảy ra khi 2 a b c = = = và Bñt cần chứng minh có dạng ( ) ( ) ( ) 4 3 4 3 4 3 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 0 a a b b c c f a f b f c − + − + − ≥ ⇔ + + ≥

Trong ñó 4 3 ( ) 2 f x x x = − . Ta có tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ( ) y f x = ñiểm có hoành ñộ 2 x = là: 8 -16 y x = . Ta hy vọng có sự ñánh giá: ≥ − ∀∈ ( ) 8 16 vôùi f x x x R

Ta có: 4 3 2 2 ( ) (8 -16) 2 8 16 ( 2) ( 2 4) 0 f x x x x x x x x x − = − − + = − − + ≥ ∀ . Vậy ta có lời giải như sau. Lời giải. Ta có: − − − = − − + ≥ ∀∈ 4 3 2 2 2 (8 16) ( 2) ( 2 4) 0 a a a a a a a R ⇒ − ≥ − ∀∈ 4 3 2 8 16 a a a a R. Tương tự ta cũng có − ≥ − − ≥ − 4 3 4 3 2 8 16 ; 2 8 16 b b b c c c . Cộng 3 bất ñẳng thức này lại với nhau ta có 4 4 4 3 3 3 2( ) 8( ) 48 0 + + − + + ≥ + + − = a b c a b c a b c (ñpcm). Chú ý. Vì 8 16 y x = − là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y=x4-2x3 tại ñiểm có hoành ñộ

x=2 nên ta có sự phân tích f(x)-(8x-16)=(x-2)kg(x) với k ≥2 và g(2)≠ 0.

Chuyên ñ s d ng ti p tuy n ñ tìm l i gi i trong ch ng minh b t ñ ng th c

GV: Nguyễn Tất Thu GV: Nguyễn Tất Thu GV: Nguyễn Tất Thu GV: Nguyễn Tất Thu Năm học 2005 Năm học 2005 Năm học 2005 Năm học 2005 – 2006 2006 2006 2006 2

Bài toán 2. Cho 3 , , 4 a b c ≥− và 1 a b c + + = . Cmr: 2 2 2

9 10 1 1 1 a b c a b c + + ≤ + + +

.

( Vô ñịch Toán Ba Lan 1996)

Nhận xét. Ta thấy ñẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c = = = và Bñt ñã cho có dạng

9 ( ) ( ) ( ) 10 f a f b f c + + ≤ trong ñó 2 ( )

1 x f x

x =

+

với 3 5 [- ; ] 4 2 x∈ . Tiếp tuyến của ñồ thị

hàm số ( ) y f x = tại ñiểm có hoành ñộ 1 3 x = là : 36 3 50

x y + =

Xét

2

2 2 36 3 36 3 (3 1) (4 3) 3 5 ( ) 0 [- ; ] 50 50 4 2 1 50( 1) x x x x x f x x x x + + − + − = − = ≥ ∀∈ + +

Vậy ta có lời giải như sau . Lời giải. Ta có

2

2 2 2 36 3 (3 1) (4 3) 3 36 3 3 0 50 4 50 4 1 50( 1) 1 a a a a a a a a a a a + − + + − = ≥ ∀≥− ⇒ ≤ ∀≥− + + +

Vậy : + + + + + ≤ = + + + 2 2 2

36( ) 9 9 50 10 1 1 1 a b c a b c a b c

.

ðây là một bài toán hay và tương ñối khó, thông thường chúng ta chỉ gặp những bất ñẳng thức ñối xứng ba biến với ñiều kiện các biến không âm. Từ lời giải trên ta thấy ñiều kiện của bài toán là rất chặt và cần thiết. Trong hai bài toán trên Bñt cần chứng minh là các Bñt có ñiều kiện và ñều có dạng (**). Vậy dấu hiệu ñể chúng ta có liên tưởng ñến phương pháp này là bất ñẳng thức cần chứng minh có dạng (*) hoặc (**), tuy nhiên có nhiều trường hợp Bñr cần chứng minh chưa xuất riện dạng (*) hay (**) nhưng qua một số bước biến ñổi hoặc ñánh giá ta chuyển Bñt ñã cho về (*) hay (**). Ta xét bài toán sau. Bài toán 3. …