Bài tập có đáp án chi tiết về sử dụng phương pháp tương đương chứng minh bất đẳng thức môn toán của nguyễn phú khánh

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn

-1-

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Định nghĩa: 0 0 A B A B A B A B

 ≥ ⇔ − ≥  ≤ ⇔ − ≤ 

2. Tính chất: 1. , a b c d a c b d > > ⇒ + > + 7. n n a b a b > ⇔ > ,n chẵn 2. , a b c d a c b d > < ⇒ − > − 8. n n a b a b > ⇔ > ,n chẵn

3. , 0 a b c ac bc > > ⇒ > 9. 0, 1

1 ;0 1

n n

n n n n m n a a b

a a b a a b

> > > ⇒ >

= ⇒ = < < ⇒ <

4. , 0 a b c ac bc > < ⇒ < 10. 1 1 , 0 a b ab a b > > ⇒ <

5. 0, 0 a b c d ac bd > ≥ > ≥ ⇒ > 11. A B A B + ≥ + . Đẳng thức xảy ra khi . 0 AB >

6. 0 n n a b a b > > ⇒ > 12. A B A B − ≤ − . Đẳng thức xảy ra khi . 0 AB <

3. Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng: 1. 1 1 2 x

x

− ≤ 9.

2 2

2 1 1 1

a b

ab a b + ≥ + + +

2.

; , , a a a b c a b a b c

+ > ∈ + + + ℤ 10. 0 1 1 1 1

1 1

a b c ab ac bc a a bc ab

< ≤ ≤ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ +

⇒ ≤ + +

3. ( ) 1 1 4 a b a b   + + ≥     ;

( ) 1 1 1 9 a b c a b c   + + + + ≥    

11. ( ) 4 1 1 4 1 4 1 .1 2 1 2 a a a a + + + = + ≤ = +

4. ( )

2 2 4 2 ab a b a b ab a b

+ + ≥ ⇒ ≤ +

12.

2 2 1 1 2 1 1 1 xy x y + ≥ − − −

5. 2 2 2

2

2 1 ; 2 2 2 2 1

a b a b a a a

  + + ≥ ≤ =   +   13.

2 a a b c b c a + + ≥ +

6 2

2 a b ab   + ≥     hay ( )

2 4 a b ab + ≥ 14. 1 1 4 ; , 0 a b a b a b + ≥ ≥ +

7 1 2 2; 2 a b a b ab b a a b ab + ≥ + ≥ ⇔ ≥ +

15.

( )

2 1 4 .x y x y ≥ +

8 ( ) 2 a b a b + ≤ + 16. ( ) 1 2 2 2 1 1

k k k k k k k = > = + − + + + 17. ( ) 1 2 2 2 1 1

k k k k k k k = < = − − + + −

www.mathvn.com

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn

-2-

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Đẳng thức thường dùng :

( )

2 2 2 2 A B A AB B + = + +

( )

2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C AB AC BC + + = + + + + +

( )

3 3 2 2 3 3 3 A B A A B AB B + = + + +

Chứng minh rằng với mọi số thực , , a b c ta luôn có: + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ac Giải: + + ≥ + + ⇔ + + − − − ≥ 2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ac a b c ab ac bc       ⇔ − + + − + + − + ≥                  

2 2 2 2 2 2

0 2 2 2 2 2 2 a b c a c b ab ac bc

( ) ( ) ( ) − − − − + − + − + ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2

a b c a c b a ab b c ac a c cb b đúng.

Đẳng thức xảy ra khi = = a b c .

Chứng minh rằng với mọi số thực ,a b không âm ta luôn có: ( )

2

2 4

a b a b a b b a + + + ≥ +

Giải:

( )

2

1 1 2 4 2 2 2

a b a b a b a b ab a b +     + + + = + + ≥ + +        

.

Xét hiệu :

( )

2 2 1 1 1 1 0 2 2 2 2 ab a b ab a b ab a b a b ab a b             + + − + = + + − − = − + − ≥                     đúng

Vậy: ( )

2

2 4

a b a b a b b a + + + ≥ + .

Chứng minh rằng với mọi số thực , , , , a b c d e ta luôn có: ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e + + + + ≥ + + +

Giải:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e + + + + ≥ + + + ⇔ + + + + ≥ + + +

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 0 a ab b a ac c a ad d a ac c ⇔ − + + − + + − + + − + ≥

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b a c a d a c ⇔ − + − + − + − ≥ đúng.

www.mathvn.com