Bài tập về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất nhỏ nhất

NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882

2 2 2 a b c 3 + + =

CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT

Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng :

( )

3

2 2 2 a b c 10 abc c a b 9 a b c + + + ≥ + +

Bài 2 . Cho a,b,c dương thoả mãn : a+b+c=abc . Chứng minh rằng :

2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 a b c + + + + + ≥

Bài 3 . Cho 3 số d−ơng a,b,c thoả m n : 9 a b c + + =

Chøng minh r»ng: ( ) 2 2 2 7 7 7 7 3 3 1 1 1 6 2 a b c a b c b c a + + + + + ≥ + + +

Bài 4. Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng :

2 2 2

2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a b c 2abc a b c b c c a a b   + + < + +   + + +  

Bài 5. Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng :

( ) 3 a b c a b c 2 b c c a a b

+ + + + ≥ + + +

Bài 6. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn : Tìm giá trị nhỏ nhất của

5 5 5

4 4 4 3 2 3 2 3 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + +

Bài 7. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=1 , chứng minh rằng :

1 1 30 1 2(ab bc ca) abc + ≥ − + +

Bài 8. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2 a b c b c a

b c c a a b b c c a a b + + ≥ + + + + + + + +

Bài 9. Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [0;1], tìm giá trị lớn nhất của :

P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

Bài 10. Cho a,b,c là các số thực khác 0 , chứng minh rằng :

NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 a b c 3 5 a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + +

Bài 11. Cho a,b,c là các số dương và ab+bc+ca=1 . Chưng minh rằng :

3 3 3 1 1 1 1 6b 6c 6a a b c abc + + + + + ≤

Bài 12. Cho x,y,z dương , chứng minh rằng :

( )

2 3 3 3 2 2 2 1 6 3 x y z x y z x y z + ≥ + + + + + +

Bài 13. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :

2 2 2 a b c 3

2 ab b bc c ca a + + ≥ + + +

Bài 14. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn 3 x y z 2 + + ≤ , tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2 1 1 1 M x y z x y z = + + + + +

Bài 15. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , chứng minh rằng :

2 2 2 a abc b abc c abc 1 c ab a bc b ac 2 abc + + + + + ≤ + + +

Bài 16. Cho a,b,c dương chứng minh rằng :

3 2 3 2 3 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 a b b c c a 2 a b c   + + ≤ + +   + + +  

Bài 17. Cho a,b,c là các số dương và abc=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a, 2 2 2 2 2 2 bc ca ab A a b a c b a b c c b c a = + + + + +

b, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bc ca ab B a b a c b a b c c b c a = + + + + +

Bài 18. Cho a,b dương chứng minh rằng :

3 3 3 3 1 a 1 a b b a b a b + + ≥ + +

NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882

Bài 20. Cho a,b,c thoả mãn : a+b+c=1 , chứng minh rằng :

a b c a b c 1 1 1 a b c 3 3 3 3 3 3 3   + + ≥ + +    

Bài 21. Cho tam giac ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 4 6 1 tg A

2 64sin B 4 2 M tg A 12sin B

+ + = +

Bài 22. Cho x,y dương thoả mãn x+y ≥4 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

2 3x 4 2 y A

4x y + + = +

Bài 23. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . chứng minh rằng :

a b c b c a c a b a b c + − + + − + + − ≤ + +

Bài 24. Cho x,y,z là các số dương , chứng minh rằng :

3 x y z x y z 1 1 1 2 1 y z x xyz

    + +    + + + ≥ +               

Bài 25. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn : 3 x y z 2 + + ≤ , tìm giá trị nhỏ nhất của :

( )

2 2 2 2 1 1 P x y 1 z x y z = + + + +

Bài 26. Cho x,y,z là các số dương , tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2

2 2 2 x y z A

x 2yz y 2zx z 2xy = + + + + +

Bài 27. Cho x,y là các số thực không âm thoả mãn : x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2008 2008 A 1 x 1 y = + + +

Bài 28. Cho x,y,z dương thoả mãn xyz=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 A x y z y z x z x y = + + + + +