Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp phân tử cực biến trong bất đẳng thức của tác giả vũ minh thắng và nguyễn thế anh

Tác giả:Vũ Minh Thắng,Nguyễn Thế Anh,K41, ĐHSPHN

Look at the end point

Nhìn vào điểm mút ************************************************** *************

Ta mở đầu phương pháp này bằng hai định lý sau: Định lý 1 Nếu f(x) là hàm bậc nhất theo x thì : nếu 0 khi đó 0 với mọi x

Định lý 2 : Nếu là hàm bậc nhất theo x thì : f(x)

với mọi x Định lý 3 Nếu là một hàm số lồi dưới trên khoảng thì

Nếu là một hàm số lõm dưới trên khoảng thì

Đối với bậc THCS,chưa học hàm lồi,hàm lõm thì ta có thể sử dụng định lý sau đối với hàm bậc 2: Định lý 4:

Cho và

Khi đó đạt max,min tại hay hoặc với

Các tính chất hàm bậc nhất trên đây có tính minh họa hình học rất tường minh và dễ hiểu. Vận dụng các tính chất này ta có thể Cm được nhiều BDT hay và khó.

Ví dụ 1 Cho Chứng minh rằng (*)

Lời Giải:BDT(*) <=> Xét với

Theo định lý thì Ta có

0 => f(x) với x [0,2](dpcm)

Ví dụ 2 Cho CM BDT:

1 Lời giải Cách 1: Cố định b,c,d xét hàm bậc nhất

0

Cố định xét :

0

0 0 => với mọi Cách 2:(Nguyễn Thế Anh) Đặt => tại hoặc Vậy để S đặt giá trị nhỏ nhất thì a tương tự b c Nếu có 1 số bằng 1 thì S 0 Nếu cả 4 số bằng 0 thì

Ví dụ 3: Cho thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

Lời giải:

Đặt

=>

Lại có

<=> ,đúng

Từ đó ta có đpcm

Ví dụ 4 (IMO) : Cho 3 số dương thỏa mãn

CMBDT: Lời Giải

Cố định x xét

Ta có

=>

=> f(0)<0

vậy 0 => dpcm:

Ví dụ 5: Cho .Chứng minh rằng:

Lời giải: Ngoài phương pháp đồng bậc,ta có thể giải bài toán này bằng Look at the end point như sau: Ta có:

Do

=>

Từ đó ta có đpcm

Ví dụ 6 Cho 3 số ko âm a,b,c thỏa mãn

Chứng minh rằng Lời giải: Cách 1: Ta có thể giải bài toán này theo cách đơn giản như sau: Đưa BDT cần chứng minh về dạng:

<=> BDT này hiển nhiên đúng theo BDT Schur Cách 2:

Xét

Đến đây thì bài toán trở nên đơn giản,chú ý rằng Các bạn tự làm nốt coi như là bài tập

Ví dụ 7 (post by huyclvc) Cho chứng minh :

Chúng ta đã có 3 lời giải cho BDT này: Lời giải 1:(mather) Giả sử

Theo định lý dồn biến ta có

Lời giải 2:(ThaithuanGC) Phá Max trước. Giả sử . Đặt : BDT tương đương :

Ta sử dụng 1 BDt thường được dùng trong tiêu chuẩn 2 của S.O.S :

Do đó BDT cần cm tương đương :

bắn tung toé ; ra là ok! mà hình như cái BDT này còn yếu !

Lời giải 3(posted by huyclvc)

Đi từ bất đẳng thức : .

Đưa tới bất đẳng thức .

Đưa tới bất đẳng thức Từ đó có điều sau

Cái gì nó cũng có ngọn nguồn của nó cả

Và tất nhiên ta cũng có thể xử lý bài toán này bằng Look at the end point

Giả sử Lúc đó ta cần CM

Coi đây là 1 hàm số biến ,xét

=> Giả sử

Ta CM

<=>

Chú ý rằng Ta có đpcm

Để hiểu rõ hơn về phương pháp này,ta xét thêm ví dụ sau: Ví dụ 8:(chien than)

Cho Tìm min của Lời giải:

VT đạt min tại

Xét tích nhận 2 dấu =>tồn tại 1 tích nhận giá trị dương

Giả sử =>

=> Ta thấy nhỏ nhất là => => Đẳng thức xảy ra ví dụ như

Bây giờ ta sẽ trở lại xét bài toán quen thuộc: Ví dụ 9: Cho .Chứng minh:

Chúng ta có thể dễ dàng kill bài này bằng cách sử dụng BDT AM-GM(Cauchy) Giả sử Ta có:

Ta cần CM Đây là hệ quả trực tiếp của BDT AM-GM và ta có đpcm Và sau đây,ta sẽ giải bài toán này bằng Look at the end point Vẫn giả sử Gọi là VT của BDT

Ta có:

Xét Lại có

=> =>đpcm

Ví dụ 10: Cho .Chứng minh:

Proof: Xét ,các TH còn lại tương tự:

Dễ thấy đây là hàm số lồi,ta có:

Ta có Nếu thì BDT hiển nhiên đúng,còn nếu thì AM-GM:

Đẳng thức xảy ra khi Ta lại có:

Dễ thấy đây là hàm lồi trên đoạn nên ta có:

Từ đó ta có đpcm

Ví dụ 11: (posted by ThaithuanGC)

Lúc đó Lời giải(chien than) Ta sử dụng phương pháp Look at the end point Ta có:

Ta có: