Bài tập có đáp án chi tiết về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp hàm số môn toán của thầy trần văn tỏ

tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của một biểu thức bằng phương pháp hàm số

Trần Văn Tỏ

(GV tổ toán tin – trường thpt đức hợp, hưng yên)

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một nội

dung quan trọng trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học,

Cao đẳng hằng năm. Trong chuyên đề này chúng tôi

tập trung vào ý tưởng sử dụng tính chất của hàm số để

giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức nhiều biến số. Phương pháp này tỏ ra khá

mạnh, hiệu quả, chặt chẽ và tỏ ra có đường lối với các

bài toán mà biểu thức có tính đối xứng, hoán vị vòng quanh, ...

I/ PHƯƠNG PHáP GIảI TOáN

1/ Biến đổi các số hạng trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau.

2/ Đưa vào một ẩn phụ t mới bằng cách đặt t bằng đại lượng chung –

giống nhau đó

3/ Tìm điều kiện ràng buộc cho biến t, giả sử t thuộc D

4/ Xét hàm số f(t), t thuộc D khi đó hình thành được bài toán tương đương

sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), t thuộc tập D

5/ Dùng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) với t thuộc D

II/ YÊU CầU Kỹ NĂNG GIảI TOáN

1/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a;b) hoặc đoạn [a;b]

2/ Định lý Vi-ét đảo về PT bậc 2: Nếu   2 4 0 S P và x y S

xy P

     

thì x, y là

nghiệm của PT bậc hai ẩn t: 2 0 t St P   

3/ Biến đổi biểu thức đối xứng và kết hợp giả thiết đưa việc đánh giá biểu

thức về việc khảo sát hàm số trên một miền D

4/ Đặt vấn đề tương đương với bài toán biện luận số nghiệm của phương

trình, bất phương trình

Nhận xét:

Điểm mấu chốt trong cách giải này là tìm được hàm số f(t) với t thuộc D

và P = f(t)

Trong trường hợp không thể xây dùng trực tiếp được hàm số f(t) thỏa mãn

P = f(t) với t thuộc D thì ta đi tìm hàm số f(t) thỏa mãn , P f t t D   với bài

toán tìm GTNN hoặc hàm số f(t) thỏa mãn , P f t t D   với bài toán tìm GTLN.

IIi/ các thí dụ minh họa

 Thí dụ 1: Cho các số thực dương x và y thỏa mãn x + y = 4. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biếu thức    3 3 1 1 P a b ab

Bài giải:

Ta có:           3 3 3 3 1 3 a b a b ab a b ab . Do đó:   

1 1 1 3 P ab ab

Theo BĐT Cô si ta có:     2 4 x y xy, Với mọi số dương x, y.

Đặt t = ab vì     2 4 a b ab nên     1 1 4 0 0 4 ab ab .

Vậy bài toán trở thành:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số           

1 1 1 , 0; 1 3 4 P f t t t t .

Với đạo hàm   

      2 2 3 1 3 3 ' 0 6 1 3 f t t t t

Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên      

1 0; 4 t

t 0  3 3 6 1

4

f’(t) - 0 +

f(t)

+ ∞ 8

 4 2 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm f(t) là  4 2 3 khi t=  3 3 6 .

Do đó MinP =  4 2 3 khi  1 2 3 3 1 2 3 3 , 1 ; 1 2 3 2 3 x y

                            

hoặc 1 2 3 3 1 2 3 3 1 ; 1 2 3 2 3

                           

.

Bình luận:

 Biểu thức P có tính đối xứng với x,y

 Trong bài này ta tìm được hàm số f(t) sao cho biểu thức P = f(t) với t thuộc

D.

 Thí dụ 2: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn 1 x y z   . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 1 1 1 P x y z x y z     

(Câu IV, Đề thi TS CĐ Kinh tế Kỹ thuật Cần Thơ, Khối A, năm 2006)

Bài giải:

áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương x, y, z ta có:

3 1 3 0 x y z xyz      (1) và 3 3 1 1 1 1 3 3 0 x y z xyz xyz      (2)

Dấu “=” xảy ra ë BĐT (1) và (2) khi và chỉ khi x y z  .

Do đó ta có đánh giá sau:

1 1 1 P x y z x y z       3 3 xyz +

3

3

xyz .