Xem trước nội dung
diendantoanhoc.net
MỘT VÀI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
NGUYỄN VĂN HUYỆN - Sinh viên CN10B trường Đại học Giao thông vận tải tp HồChí Minh Nguyenhuyen_ag@yahoo.com
1. Lời nói đầu:
Bất đẳng thức không thuần nhất là một phần quan trọng, hay và tương đối khó trong bất đẳng thức vì chúng ta không có một phương pháp thực sự“tốt” nào đểgiải quyết loạt các bài toán này. Những lời giải cho những bất đẳng thức dạng này thường mang những ý tưởng khá hay, độc đáo và thường là những phương pháp không mẫu mực. Ởbài viết này tác giảxin được giới thiệu đến bạn đọc một bài toán bất đẳng thức không thuần nhất tương đối đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bất đẳng thức thuần nhất và không thuần nhất khác, thậm chí là những bất đẳng thức trong đềthi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. (Bài viết được trích ra từbài viết cùng tên của tác giảđăng trong chuyên đềToán học số9 của trường PhổThông Năng Khiếu Đại học Quốc gia Tp.HCM và được tác giảbổsung, điều chỉnh.)
2. Nội dung:
Bài toán gốc: Cho a,b,c là các sốthực dương thay đổi bất kì. Chứng minh rằng:
a2 +b2 +c2 +2abc +1 ≥2(ab +bc +ca) (1) Lời giải: 1 Ta sẽsửdụng phương pháp tam thức bậc hai đểchứng minh bài toán. Bất đẳng thức được chuyển vềdạng tam thức bậc hai như sau:
f (a) = a2 +2a(bc −b −c)+(b −c)2 +1 ≥0
* Nếu bc ≥b +c thì ta có ngay điều phải chứng minh. * Xét trường hợp ngược lại bc ≤b +c, và điều này tương đương với (b −1)(c −1) ≤1. Khi đó ta tính được biệt thức ∆′ của f (a) là:
∆′ = (bc −b −c)2 −(b −c)2 −1 = bc(b −2)(c −2)−1
Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Có đúng một trong hai sốb,c lớn hơn 2, sốcòn lại không lớn hơn 2. Trong trường hợp này ta có (b −2)(c −2) ≤0 từđó suy ra ∆′ ≤0. Trường hợp 2: Cảhai sốb,c đều không lớn hơn 2. Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta có :
∆′ = bc(2−b)(2−c)−1 ≤ ·b +c +(2−b)+(2−c) 4
¸4 −1 = 0.
Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có ∆′ ≤0. Tức f (a) ≥0 và đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b = c = 1. □ Lời giải: 2 Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba sốa,b,c sẽcó hai sốhoặc cùng
≥1 hoặc cùng ≤1. Giảsửhai sốđó là a,b khi đó:
(a −1)(b −1) ≥0.
diendantoanhoc.net 1 http://boxtailieu.net
diendantoanhoc.net
Từđây, bằng cách sửdụng hằng đẳng thức:
a2 +b2 +c2 +2abc +1−2(ab +bc +ca) = (a −b)2 +(c −1)2 +2c(a −1)(b −1) ≥0
Ta thu được ngay bất đẳng thức (1), phép chứng minh hoàn tất. □ Lời giải: 3 Ta sẽsửdụng phương pháp dồn biến đểchứng minh bài toán. Giảsửc là sốbé nhất và đặt:
f (a,b,c) = a2 +b2 +c2 +2abc +1−2(ab +bc +ca)
Ta có:
f (a,b,c)−f ( p
ab, p
ab,c) = ( p
a − p
b)2(a +b +2 p
ab −2c) ≥0
Do đó f (a,b,c) ≥f ( p
ab, p
ab,c), vậy ta chỉcần chứng minh f ( p
ab, p
ab,c) ≥0. Thật vậy, nếu đặt t = p
ab thì ta có:
f (t,t,c) = 2t2 +c2 +2t2c −2(t2 +2tc)+1 = (c −1)2 +2c(t −1)2 ≥0
Bài toán được chứng minh xong. □ Lời giải: 4 Sửdụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2abc +1 = abc + abc +1 ≥3 3p
a2b2c2 ≥ 9abc a +b +c
Do đó, ta chỉcần chứng minh:
a2 +b2 +c2 + 9abc a +b +c ≥2(ab +bc +ca)
Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:
a3 +b3 +c3 +3abc ≥ab(a +b)+bc(b +c)+ca(c + a)
Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh. □ Bất đẳng thức (1) được Darij Grinberg đềxuất trên diễn đàn toán học Mathlinks.ro vào năm 2004. Mặc dù chỉlà một kết quảđơn giản nhưng bất đẳng thức này lại có nhiều ứng dụng vào việc chứng minh các bất đẳng thức ba biến. Sau đây, chúng ta sẽđi vào xét các bài toán cụthể đểhiểu rõ vì sao chúng tôi lại nói như vậy.
Bài toán 1.1. (Moscow Mathematical Olympiad 2000) Cho a,b,c là các sốdương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức sau
a2 +b2 +c2 + a +b +c ≥2(ab +bc +ca) (1.1.1) Lời giải: Sửdụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
a +b +c ≥3 3p
abc = 3 = 2abc +1
. Vì thếđểchứng minh bài toán, ta chỉcần chứng minh
a2 +b2 +c2 +2abc +1 ≥2(ab +bc +ca)
Đây chính là bất đẳng thức (1) nên ta có ngay điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b = c = 1. □
diendantoanhoc.net 2 …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
