Bài tập có đáp án chi tiết về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số môn toán

Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com

1

I- SỬ DỤNG TẬP GIÁ TRỊ:

• Bài toán: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện ( ) ; 0 F x y = . Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức ( ) ; P G x y = .

• Phương pháp giải chung: Gọi T là tập giá trị của P, khi đó m T ∈ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( )

; 0

;

F x y

G x y m

 =  =  (1)

• Sau đó tìm các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm (thường là đưa về điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai) rồi suy ra tập giá trị T của P, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức ( ) ; P G x y = .

• Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) Giải: Đặt 2 2 A x xy y = + + và 2 2 3 B x xy y = − − . Gọi T là tập giá trị của B, khi đó m T ∈ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

2 2

2 2 3

3

x xy y

x xy y m

 + + ≤  − − =  (1)

• Nếu y = 0 thì 2 3 A x = ≤, lúc đó 2 4 3 3 0 3 4 3 3 m x − − < ≤ = ≤ < − (đpcm).

• Nếu 0 y ≠ thì đặt x ty = , khi đó

2 2 2 2 3 0 2 4 y y A x xy y x   = + + = + + >     nên:

2 2 2

2 2 2 3 3 1 m x xy y t t A x xy y t t − − −− = = + + + + .

Đặt ( ) ( )

2 2 2 3 1 1 3 0 (2) 1 t t a a t a t a t t −− = ⇔ − + + + + = + + .

Hệ (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm ( ) ( )( ) 2 1 4 1 3 0 a a a ⇔∆= + − − + ≥

4 3 3 4 3 3 3 3 a − − − ⇔ ≤ ≤ .

Do đó: 4 3 3 4 3 3 3 3 m A − − − ≤ ≤ , mặt khác 0 3 A < ≤ nên 4 3 3 4 3 3 m − − ≤ ≤ −.

Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 2 3 x xy y + + ≤. Chứng minh rằng:

2 2 4 3 3 3 4 3 3 x xy y − − ≤ − − ≤ −

www.VNMATH.com

Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến số __________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________ nghia_metal@yahoo.com

2

Vậy tập giá trị của P là 4 3 3 ; 4 3 3 T   = − − −   nên suy ra đpcm.

Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2005)

Giải: ĐKXĐ: 1 x ≥− và 2 y ≥−. Gọi T là tập giá trị của K. Ta có m T ∈ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

3 1 3 2 (1) x x y y

x y m

− + = + − + = 

Đặt 1 u x = + và 2 v y = + thì 0, 0 u v ≥ ≥ và hệ (1) trở thành:

( )

2 2 2 3 3

1 3 3 2 9

m u v u v m

m u v m uv m

+ =   + =   ⇔ ⇔     + = +    = − −        

u, v là hai nghiệm của phương trình:

2 2 2 2 1 3 0 18 6 9 27 0 3 2 9 m m t t m t mt m m   − + − − = ⇔ − + − − =       (2).

Do đó hệ (1) có nghiệm (x , y) sao cho 1 x ≥− và 2 y ≥− khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm không âm và điều kiện là:

( ) 2

2

9 18 54 0

9 3 21 0 9 3 15 3 2 9 27 0 18

m m

m S m

m m P

 ∆= − − − ≥   + = ≥ ⇔ ≤ ≤ +    − − = ≥ 

.

Do đó 9 3 21;9 3 15 2 T   + = +    

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của K là 9 3 21 2 + và giá trị lớn nhất của K là 9 3 15 + .

Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 3 1 3 2 x x y y − + = + − . Tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K x y = + .

www.VNMATH.com