Bài tập có đáp án chi tiết về chứng minh bất đẳng thức mũ logarit

Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang1

Dạng toán: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MŨ_ LOGARITH Bài tập 1: Chứng minh rằng:

( )

2 1) 1 0 2

x x e x x ³ + + " ³

2) Hàm số ( ) 2 ( ) 5 1 x y f x x x = = + - đồng biến trên R.

Bài giải:

1) Xét hàm số

2 ( ) 1 2

x x f x e x = - - - với 0 x ³ , ta có:

/ / / / / ( ) 1 ; ( ) 1 ( ) 0 0 x x f x e x f x e f x x = - - = - Þ = Û = . Lập bảng biến thiên suy ra: ( ) / / / / / / ( ) (0) 0 ( ) (0) 0 0 f x f f x f x ³ = Þ ³ = " ³

( ) ( ) (0) 0 0 f x f x Þ ³ = " ³ (đ.p.c.m) 2) TXĐ: D R = . Ta có:

( )( ) ( ) / / 2 2

2 2 1 ( ) 5 ln5 1 5 1 5 1 ln5 1 1

x x x x y f x x x x x x x

æ ö æ ö = = + - + - = + - - ç ÷ ç ÷ + + è ø è ø

.

Ta có: ( )

2 2

/

2 2

1 0

( ) 0 1 1 ln5 1 ln5 0 1 1

x x x x

f x x R

x x

ì + - > - ³ ï Þ > " Î í > > Þ - > ï + + î

Vậy hàm số ( ) y f x = đồng biến trên R (đ.p.c.m) Bài tập 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

( ) ( )

( ) ( )

log log log 3 1) ln ln 2 ln , 1 2) 3 , 1 2

2 1 1 3) ln , 0 4) 2 2 0 2 2 2

b c a c a b

b a a b a b

a b a b a b a b c abc a b

x y y x y a b x x y

+ + £ " > + + ³ " >

+ æ ö æ ö æ ö > " > + £ + " ³ > ç ÷ ç ÷ ç ÷ + è ø è ø è ø

Bài giải:

1) Ta có: ( )

2 ln ln 2 ln ln 2ln 2ln 2 ln 2 2 a b a b a b a b ab + + æ ö + £ + = £ = ç ÷ è ø

Dấu “=” xãy ra a b Û = .

2) Ta có:

log log log log log log log log 2 . 2 b b b a b a b a c a c b a b a b a c a c c c c c c = Þ + = + ³ ³ Tương tự:

log log 2 b a c c a b a + ³ ,

log log 2 c a a b b c b + ³ Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có:

log log log 3 3 b c a c a b a b c a b c abc + + ³ + + ³ Dấu “=” xãy ra a b c Û = = .

3) Đặt ( ) 1 1 x y t tx x y y x t x + = > Þ = + Û = -

www.VNMATH.com

Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang2

Do đó: ( ) ( )

2 1 2 1 2 2 2 1 1 x t y t x y x x t t - - = = + + - +

Bài toán trở thành chứng minh: ( ) 1 ln 2 1 1 t t t t

- > " > +

Xét hàm số ( ) 1 ( ) ln 2 1 1 t f t t t t

- = - " ³ +

Ta có:

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

/

2 2 1 1 4 ( ) 0 1 ( ) (1) 0 1 1 1

t f t t f t f t t t t t

- = - = ³ " ³ Þ ³ = " ³ + +

hay ( ) 1 ln 2 1 1 t t t t

- > " > + (đ.p.c.m)

4) Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2 4 1 4 1 ln 4 1 ln 4 1 2 2

ln 4 1 ln 4 1

(1)

b a

b a a b a b a b a b

a b

b a

a b

æ ö æ ö + £ + Û + £ + Û + £ + ç ÷ ç ÷ è ø è ø

+ + Û £

Xét hàm số ( ) ( ) ln 4 1 ( ) 0

t f t t t

+ = > .

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /

2 4 ln 4 1 4 1 ln 4 1 ( ) 0 0 4 1

t t t t

t f t t t

+ - + + = < " > +

nên hàm số ( ) f t nghịch biến trên ( ) 0;+¥ .

Vậy: ( ) ( ) ln 4 1 ln 4 1 0 ( ) ( )

a b a b f a f b a b

+ + ³ > Û £ Û £ (đ.p.c.m)

Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

b

1

1 1) ln 1 1 ln 0 2) ln 1 0 1

3) , , 0, 4) 2 3 2 3 0

1 5) 1 2

x b

y x x x y y

x x

x x x x x x x x x

x a a x a b a b x y x b b

x x x

+

+

+ + < + " > < + < " > +

+ æ ö æ ö > " > ¹ + < + " > > ç ÷ ç ÷ + è ø è ø

+ æ ö ³ " > ç ÷ è ø

Bài giải:

1) Xét hàm số ( ) ( ) 2 1 ( ) ln 1 1 ln 0 f x x x x x = + + - - " >

Ta có: ( )

2 /

2 2 1 ( ) 0 0 ( ) 1

x x f x x f x x x

+ - = > " > Þ +

là hàm tăng trên ( ) 0;+¥ .

www.VNMATH.com