Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức ba biến xyz của thầy lê quang dũng

www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 1

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D

Bài 1 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP , 1 1 1 yz zx xy P x y z      

HD :

Ta có :

2 ( ) 1 1 4( ) 4 2 cyc cyc cyc

xy x y x y z x y           , 1 1 max ( ) 3 2 P P x y z     

Bài 2 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1, Tìm MaxP , yz zx xy P x yz y zx z xy      

HD :

Ta có : 1 3 1 (1 )(1 ) 2 1 1 2 cyc cyc cyc cyc

xy xy xy x y z xy x y xy x y y x                       

1 3 max ( ) 3 2 P P x y z     

Bài 3 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 P x y y z z x            

HD: đặt , , b c a x y z a b c   

Ta có : 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 2 2 2( 1) 2( ) 2 cyc cyc cyc cyc

a x y x y x xy x a b c                  

1 max ( 1) 2 P P x y z     

Bài 4 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z+2=xyz , Tìm MinP , 1 1 1 P x y z   

HD : đặt 1 1 1 , , 1 1 1 a b c x y z       , x+y+z+2=xyz => a+b+c=1

1 1 1 3 2 a b c P x y z b c c a a b          

3 min ( 2) 2 P P x y z     

Bài 5 Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP ,

2 2 2 x y z P y z z x x y      

HD : , , y z a z y b x y c       => a+b+c=2

2 (1 ) 1 1 2 4

cyc cyc cyc

a a a a a               

Ta có : 1 1 1 9 9 2 a b c a b c       =>

2 2 2 1 2 x y z P y z z x x y       

1 1 min ( ) 3 2 P P x y z     

Bài 6 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MinP , 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) P x y z    

HD : 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) P x y z     = 1 1 1 ( )( )( ) x y z x y z   

2 4 1 4 x x x y z x yz     

www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 2

2 4 1 4 y x y y z xy z     

2 4 1 4 z x y z z xyz      64 64 xyz P xyz  

1 min ( ) 64 3 P P x y z     

Bài 7 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP , 2 2 2 x y z P x y z x y z x y z         

HD : 1 1 1 3 2 1 1 1 cyc

x x P x y z x x x                     

1 1 1 9 9 1 1 1 3 4 x y z x y z           => 3 2 2 2 4 x y z P x y z x y z x y z          

1 3 max ( ) 3 4 P P x y z     

Bài 8 : Cho x,y,z>0 , 3 4 x y z    , Tìm MaxP , 3 3 3 3 3 3 P x y y z z x      

HD : Ta có 3 3 2 4( ) 6 3 3 3 3 cyc cyc

x y x y z x y            ,=> 1 max ( ) 3 4 P P x y z     

Bài 9 : Cho x+y+z=0 , Tìm MinP , 3 4 3 4 3 4 x y z P      

HD: Ta có

3 4 4 4 3 4 4 4 2 2 6 2 6

x x y z x x

cyc cyc cyc P

         

min ( 0) 6 P P x y z     

Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP , 1 1 1 2 2 2 P x y z x y z x y z         

HD : ta có xy+yz+zx=4xyz => 1 1 1 4 x y z   

1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 16 4 cyc cyc P x y z x y z x y z                        

3 max ( ) 1 4 P P x y z     

Bài 11 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 P x y y z z x         

HD : Ta có 3 3 2 2 ( )( ) ( )(2 ) ( ) x y x y x xy y x y xy xy xy x y          

=> 3 3 1 ( ) ( ) x y xy x y xyz xy x y z        => 3 3 1 1 1 ( ) z x y xy x y z x y z        

3 3 1 1 1 cyc cyc

z P x y x y z          , max ( 1) 1 P P x y z     

Bài 12: Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z y x z P x y y x y z y z x z z x         

HD:

 

3 3

3 2 1 3 3 27 3 3 3

cyc cyc cyc

x y xy P xy xy xy xyz

         