Bài tập có đáp án chi tiết về hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức môn toán của thầy hoàng quốc việt

Viet_1846@yahoo.com.vn Phương pháp hệ số bất định (U.C.T)

Hoàng Quốc Việt 1

I) Mở đầu: Chắc hẳn các bạn đều đã từng nghe thấy, hay nhìn thấy người khác nói hay sử dụng phương pháp ấn tượng này để chứng minh các bất đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp. Hôm nay tôi cũng xin phép đượng trình bày một số hiểu biết nho nhỏ của tôi về phương pháp này. Nói đến U.C.T thì chúng ta đang nói đến phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức phụ. Đối với những bạn chưa từng biết về phương pháp này thì việc đưa ra các bất đẳng thức phụ thật sự là một câu hỏi khó. Phương pháp này cũng khá rộng nên hôm nay tôi cũng chia sẻ cách mà chúng ta sử dụng phương pháp này để giải một dạng bài quen thuộc. Bài toán 1: Cho ; ; 0 a b c  thỏa mãn    3 f a f b f c k    Chứng minh:    3 g a g b g c k   

PS: Bài toán có cực trị (dấu bằng xảy ra) tại tâm nghĩa là 0 a b c x    II) Các kiến thức cần sử dụng: 1) Định lý Fermat: Cho hàm   : ; f a b R  nếu hàm f đạt cực trị tại ( ; ) c a b  thì  0 f c   2) Các công thức logarit:   ln abc lna lnb lnc    với ; ; 0 a b c  (Công thức này giúp ta chuyển tích về tổng.)

Đạo hàm của hàm Logarit: 1 ( ) lnx x



3)Bất đẳng thức Jensen:

 * Cho f là hàm lồi trên   ;a b với ( ; ); 1, ix a b i n  

Ta có:       1 2 1 2 n n f x f x f x x x x f n n             

 ** Cho f là hàm lõm trên   ;a b với ( ; ); 1, ix a b i n  

Ta có:       1 2 1 2 n n f x f x f x x x x f n n             

Để đơn giản hơn thì các bạn chỉ cần nhớ rằng  " 0 f x  với ( ; ) x a b  thì f lồi trên   ;a b và ngược lại. Bây giờ tôi sẽ vào phần chính luôn, đó là cách xây dựng các bất đẳng thức phụ. ( Với bài toán 1 tôi đã nêu ở trên) Chúng ta sẽ hệ số bất định như sau:   g x k f x k        ( gọi là hệ số bất định)

Ta có bất đẳng thức mà ta giả sử sẽ tương đương với:    0 h x g x k f x k          

Sẽ đạt cực trị tại 0 x x  hay theo định lý Fermat là   0 ' 0 h x  hay    

0

0

g x

f x

  

Vậy bất đẳng thức của ta cần tìm sẽ có dạng:       0

0

g x g x k f x k f x

         

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

(U.C.T)

Viet_1846@yahoo.com.vn Phương pháp hệ số bất định (U.C.T)

Hoàng Quốc Việt 2

Bây giờ sẽ lại nảy sinh ra vấn đề mới, bất đẳng trên luôn đúng hay không? Nếu nó không phải luôn đúng thì ta sẽ sử lý chúng ra làm sao? Có thể trả lời rằng, bất đẳng thức trên không phải luôn đúng, và công việc của ta sau khi xây dựng bất đẳng thức trên xong là kiểm tra lại bất đẳng thức đó (có thể khảo sát hàm số, hay biến đổi tương đương). Nếu bất đẳng thức của ta là luôn đúng thì . . Q E D  , nếu không phải luôn đúng ( cái này mệt rồi đây) thì ta khoang vùng những điểm nhạy cảm (thường là những điểm làm cho BĐT đổi chiều, hay các điểm là cho hàm số chuyển từ lồi sang lõm ...) và cuối cùng là chia trường hợp để xử lý. Chỉ đơn giản là có vậy thôi, nhưng sức mạnh của nó thì đã được kiểm chứng. Nó có thể chứng minh những bất đẳng thức khó mà không cần sử dụng đến những phương pháp trâu bò như EV, LCF-RCF... Chúng ta đến với các ví dụ để hiểu rõ về phương pháp này hơn. Ví dụ 1: Bất đẳng thức AM-GM:

Cho n số không âm 1 2 , , , n a a a chứng minh rằng: 1 2

1 2 . n n n a a a a a a n    

Chứng minh:

 * Nếu tồn tại 0 ix  bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

 ** nếu 0 ix 

Đặt

1 2

; 1, .

i i n n

a x i n a a a   khi đó ta có BĐT đã cho theo biến mới là: 1 2

1 2 . n n n x x x x x x n    

Với      1 2 1 2 1 0 n n x x x ln x ln x ln x      Bất đẳng thức được viết lại là: 1 2 n x x x n     (BĐT đã cho đã trở về dạng Bài toán 1) Hệ số bất định: 1 . x lnx  ta đạo hàm hai vế và cho 1 x  ta được 1  Vậy ta gia cát dự được bất đẳng thức sau: 1 x lnx  Tiếp theo là kiểm tra bất đẳng thức này: Xét hàm số ( ) 1 f x x lnx    với 0 x 

Ta có: 1 ( ) 0 1 x f x x x      

Dễ thấy  'f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua 1 Từ đó suy ra ( ) (1) . . 0 f x E f Q D    . Dấu bằng …