Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức am gm

Chương 1: Các vấn đề về Bất Đẳng Thức AM-GM :

I. Bất Đẳng Thức AM-GM

Trong tiết này, chúng ta sẽ giới thiệu BĐT AM-GM mà các bạn học sinh phổ thông quen gọi với cái tên gọi đó là Bất Đẳng Thức Cô si .

Trước hết ta xét trong những trường hợp đơn giản nhất .

Đầu tiên, ta bắt đầu từ hằng đẳng thức 2 0 (a b)   .Điều này tương đương với

2 2 2 a b ab   .Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b  .

Ta phát biểu lại theo ngôn ngữ toán học của BĐT AM-GM ( Trung bình cộng và trung bình nhân ):

Cho hai số thực dương a,b . Lúc này ta có BĐT sau :

2 a b ab   .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b  .

Nói một cách nôm na là Trung bình cộng luôn luôn lớn hơn trung bình nhân . Bỏ qua hình thức rất đơn giản nhưng BĐT AM-GM lại có những ứng dụng rất rộng rãi trong việc chứng minh các bài toán về cực trị và cả trong các bài toán cực trị hình học .

Chúng ta hãy thử xét qua các ví dụ nhập môn sau :

Ví dụ 1: Cho 0 a,b,c  .CMR :

3 3 a b c abc   

Lời giải

Đây chính là BĐT AM-GM cho 3 số dương . Lời giải của nó củng sẽ dựa trên cách áp dụng AM-GM với 2 số .

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

3 3 4 P a b c abc abc    

Ta có :

4 3 3 3 2 2 4 4 P ab c abc abc abc abc     (đpcm)

Chúng ta thử một cách tiếp cách khác để chứng minh VD này .

Ở THCS ta đã biết được đẳng thức quan trọng sau :

3 3 3 2 2 2 1 3 0 2 a b c abc (a b c)((a b) (b c) (c a) )            

Như vậy ta cũng suy ra được điều cần chứng minh .

Dường như ngay từ đầu tiên, người ta đã xây dựng các Bất Đẳng Thức dựa trên điều hiển

nhiên sau 2 0 x  .Các bạn hãy đọc hết cuốn sách này để tự trả lời câu hỏi này nhé !

Một số dạng tương tự của BĐT AM-GM cho 3 số :

Với 0 a,b,c .  Ta có :

3

3 3 3

1 3

2 3

a b c abc ( )

a b c abc

  

  

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh Bất Đẳng Thức AM-GM trong trường hợp tổng quát nhất. Có khoảng hơn 20 cách chứng minh cho BĐT AM-GM trong trường hợp tổng quát . Mà chúng tôi không thể nào trình bày hết trong cuốn sách này được dù rất muốn trình bày . Đa phần chúng ta đã bỏ qua việc xây dựng lý thuyết khi học toán mà tập trung vào các kĩ năng tính toán . Điều này sẽ giúp các bạn đi nhanh lúc đầu nhưng sẽ hạn chế khả năng tuy duy và giải toán dài lâu sau này của các bạn .

Với những Bất Đẳng Thức nhiều biến số, thì tư tưởng cơ bản và tự nhiên nhất đó chính là sử dụng phép quy nạp. Tại sao lại thế ? Bởi vì luôn có một sự liên hệ giữa trường hợp 1 n  và n . Như vậy nếu như chúng ta chứng minh được với trường hợp số liền trước thì với trường hợp số liền sau ta hoàn toàn có cơ sở chúng minh được . Phương pháp quy nạp chính là “chìa khóa vàng” của các nhà toán học khi xây dựng nên các lý thuyết toán học cổ điển và hiện đại . Song, điều chúng ta cần nắm đó là cách quy nạp như thế nào . Đó là cả một nghệ thuật . Chúng ta hãy theo giỏi lời giải sau của TS.Trần Nam Dũng ( ĐHKHTN- ĐHQG Tp HCM ):

(Chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp tiến).

ĐẶT MUA SÁCH

Link đăng ký: http://goo.gl/forms/5SbEpf57U9

Mua trực tiếp liên hệ Nguyễn Văn Quốc Tuấn số điện thoại: 0989631669

Facebook: https://www.facebook.com/chicanemhanhphucS2g

Ai có nhu cầu sẽ được chính tác giả ký tặng nhé!!!!!!!!!

Đặt mua sách Bí quyết tiếp cận hiệu quả Kỳ thi THPT quốc gia Bất đẳng thức- Giá trị lớn nhất nhỏ nhất.

Nếu mua qua đây sẽ được tác giả ký tặng!!!

------GIÁ SÁCH---

Lưu ý: Mua nhóm trên 5 cuốn được miễn phí cước Chuyển phát nhanh.

Bí quyết tiếp cận hiệu quả Kỳ thi THPT quốc gia Bất đẳng thức- Giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Giá bìa 234.000đ

----THANH TOÁN----

TỔNG TIỀN THANH TOÁN = 200K +40K phí Chuyển phát nhanh, Bạn nào lựa chọn thanh toán COD Qua bưu điện thì mất thêm 15K tiền thu hộ cho nhân viên bưu điện và cần thanh toán trước 20K bằng cách gửi MÃ THẺ CÀO +SERI thẻ cào điện thoại vào số 0989631669.

---CÁCH THỨC THANH TOÁN ---

Hình thức 1: CHUYỂN KHOẢN

Thông tin tài khoản của thầy:

Các bạn chuyển vào tài khoản sau:

+Chủ thẻ: Nguyễn Văn Quốc Tuấn

+Ngân hàng TMCP Công Thương Việt Nam (Viettinbank) - Loại tài khoản: …