Xem trước nội dung
www.k2pi.net
BỔĐỀTRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Diễn đàn www.k2pi.net
Tác giảSangham−BM c ⃝TEX by illovemath
Tp.HCM, ngày 02 tháng 01 năm 2014
Trong mọi lĩnh vực, khi tựmình sáng tạo ra được một cái gì đó thì nó đều tạo cảm hứng đểtiếp tục theo đuổi đam mê, khám phá thêm nhiều điều mới. Bất đẳng thức cũng vậy, từ lâu nó đã không còn xa lạđối với các bạn học sinh nữa rồi. Khi giải được một bài toán khó, tìm ra được những lời giải hay, hay sáng tác được một bài hay. . . tất cảđều chung một cảm giác “vui khó tả”. Trong quá trình giải toán, mình có tìm ra được một bổđềbất đẳng thức; ứng dụng của nó khá ít nhưng cũng muốn giới thiệu tới mọi người.
Bổđề. Cho các sốthực dương a, b, c thì ta luôn có
a
b + b
c + c
a ≥
p
3(a2 + b2 + c2)
3√
abc
Chứng minh. Chuẩn hóa abc = 1, ta đưa vềchứng minh
a
b + b
c + c
a ≥ p
3(a2 + b2 + c2)
hay a
b + b
c + c
a
2 ≥3(a2 + b2 + c2) (∗)
Sửdụng bất đẳng thức AM −GM ta có
a2
b2 + a
c + a
c ≥3. 3 r
a4
b2c2 = 3a2
Tương tự b2
c2 + b
a + b
a ≥3. 3 r
b4
c2a2 = 3b2
c2
a2 + c
b + c
b ≥3. 3 r
c4
a2b2 = 3c2
Cộng vếtheo vếba bất đẳng thức trên ta suy ra được
a2
b2 + b2
c2 + c2
a2 + 2 a
c + b
a + c
b
≥3(a2 + b2 + c2)
hay a
b + b
c + c
a
2 ≥3(a2 + b2 + c2)
Suy ra (∗) luôn đúng. Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
www.k2pi.net
2 Bổđềtrong bất đẳng thức
Bổđềtrên có thểphát biểu dưới dạng sau
Bổđề(phát biểu lại). Cho các sốthực dương a, b, c thì ta luôn có
a2b + b2c + c2a ≥ 3√
a2b2c2. p
3(a2 + b2 + c2)
Sửdụng bổđềtrên chúng ta có thểđịnh hướng nhanh lời giải một sốbài toán trước đây.
Bài toán 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
1 + a
b
1 + b
c
1 + c
a
≥2 1 + a + b + c
3√
abc
(APMO 1998)
Lời giải. Ta có vếtrái bất đẳng thức tương đương 1 + a
b
1 + b
c
1 + c
a
= 2 + a
b + b
c + c
a
+ b
a + c
b + a
c
Từđó suy ra, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a
b + b
c + c
a
+ b
a + c
b + a
c
≥2.a + b + c
3√
abc
Từbổđềta có
a
b + b
c + c
a ≥
p
3(a2 + b2 + c2)
3√
abc ≥a + b + c
3√
abc
vì 3(a2 + b2 + c2) ≥(a + b + c)2
Tương tự b a + c
b + a
c ≥a + b + c
3√
abc
Cộng vếtheo vếta có điều cần chứng minh, đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Bài toán 2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng
a
b + b
c + c
a ≥ 9 a + b + c
Lời giải 1. Sửdụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
a
b + b
c + c
a ≥(a + b + c)2
ab + bc + ca,
Vậy nên ta chỉcần chứng minh
(a + b + c)2
ab + bc + ca ≥ 9 a + b + c,
Email.tranphongk33@gmail.com www.k2pi.net
www.k2pi.net
Bổđềtrong bất đẳng thức 3
hay
(a + b + c)3 ≥9(ab + bc + ca).
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có
(a + b + c)3 = (a + b + c)2 3
2
= (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca) 3
2
= (3 + 2(ab + bc + ca))
3 2
≥ 3 p
3(ab + bc + ca)2 3
2
= 9(ab + bc + ca)
Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Lời giải 2. Sửdụng bổđề, ta có
a
b + b
c + c
a ≥
p
3(a2 + b2 + c2)
3√
abc = 3
3√
abc
Vậy nên ta chỉcần chứng minh 3
3√
abc ≥ 9 a + b + c,
hay
a + b + c ≥3 3√
abc
Theo bất đẳng thức AM – GM ta dễsuy ra được điều trên. Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài toán 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a
b + b
c + c
a ≥3
s
a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
Lời giải 1. Không giảm tính tổng quát, ta giảsửc = min{a, b, c}. Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
a
b + b
c + c
a
2 ≥9 a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
⇔M(a −b)2 + N(a −c)(b −c) ≥0
Với
M = 1
ab
a
b + b
c + c
a + 3 − 9 ab + bc + ca
N = 1
bc
a
b + b
c + c
a + 3 − 9 ab + bc + ca
Email.tranphongk33@gmail.com www.k2pi.net
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
