Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức của tiến sĩ phạm thị bạch ngọc

1

BA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

TS. Phạm Thị Bạch Ngọc Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ I. Sử dụng tính chất tiếp tuyến của hàm số Ý tưởng chính của phương pháp là sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của một đồ thị hàm số để tìm một biểu thức trung gian trong các đánh giá bất đẳng thức. Tính chất. Cho hàm số  f x xác định, liên tục và có đạo hàm trên K . Khi đó tiếp tuyến tại một điểm 0x K  có phương trình      0 0 0 ' y f x x x f x    thường nằm trên (hoặc nằm dưới) đồ thị hàm số f trên K, nên ta có

      0 0 0 ' f x f x x x f x    (hoặc       0 0 0 ' f x f x x x f x    ) với mọi x K  . Từ tính chất này, ta thấy với mọi 1 2 , ,..., n x x x K  ta có           1 2 0 1 2 0 0 ... ' ... n n f x f x f x f x x x x nx nf x          hoặc            1 2 0 1 2 0 0 ... ' ... n n f x f x f x f x x x x nx nf x          . Như vậy, nếu một bất đẳng thức có dạng ‘‘tổng hàm’’ như ở vế trái của bất đẳng thức trên, và có giả thiết 1 2 0 ... n x x x nx     với đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến ix đều bằng nhau và bằng 0x , thì ta có thể hi vọng chứng minh nó bằng phương pháp tiếp tuyến. Ví dụ 1. (FRANCE – 2007) Cho a, b, c, d là các số thực dương sao cho 1 a b c d    .

Chứng minh rằng    3 3 3 3 2 2 2 2 1 6 8 a b c d a b c d         .

Lời giải Từ giả thiết suy ra   , , , 0;1 a b c d  . Đặt 

3 2 6 f x x x   , với   0;1 x

Khi đó bất đẳng thức trở thành     1 8 f a f b f c f d     .

Ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi 1 4 a b c d     . Vì vậy ta tìm phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  f x tại điểm 1 1 ; 4 32 M      .

Phương trình tiếp tuyến đó là 1 1 1 5 1 ' 4 4 32 8 x y f x               .

Bằng cách phác thảo đồ thị hàm số ta nhận thấy tiếp tuyến tại M nằm dưới đồ thị hàm số  y f x  trong khoản (0 ; 1) nên định hướng chứng minh BĐT



3 2 3 2 5 1 5 1 , (0;1) 6 48 8 5 1 0 8 8 x x f x x x x x x x           

     2 4 1 3 1 0, 0;1 x x x     

2

Do đó     5 5 5 5 4 1 8 8 a b c d f a f b f c f d         

Đẳng thức xảy ra khi 1 4 a b c d     .(đpcm)

Ví dụ 2. (USA – 2003) Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

   

   

   

8 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

  

    

    

 

b a c

b a c a c b

a c b c b a

c b a .

Lời giải

BĐT có tính thuần nhất. Không mất tổng quát, ta có thể giả sử rằng

1 a b c   . Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành    

   

   

2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 8 2 1 2 1 2 1

a b c

a a b b c c

            . với   , , 0;1 a b c .

Đặt     

2 2

2 2 2

1 2 1 3 2 1 2 1

x x x f x x x x x

        

, với   0;1 x .

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành    8 f a f b f c   

Ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c    . Phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số  f x tại điểm 1 16 ; 3 3 M       là 1 1 16 12 4 ' 3 3 3 3 x y f x               .

Bằng trực quan hình học ta thấy đồ thị hàm số  y f x  nằm dưới tiếp tuyến. trong khoảng (0 ; 1). Gợi ý ta chứng minh BĐT

   12 4 , 0;1 3 x f x x   

2

3 2 2

2 1 12 4 36 15 2 1 0 3 2 1 3 x x x x x x x x               2 3 1 4 1 0, (0;1). x x x     

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên là đúng.

Suy ra      12 12 8 3 a b c f a f b f c       (đpcm).

Ví dụ 3. (NHẬT BẢN – 1997) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

5 3 ) (

) ( ) (

) ( ) (

) (

2 2

2

2 2

2

2 2

2

  

    

    

 

c b a

c b a b a c

b a c a c b

a c b .

Lời giải. BĐT cần chứng minh có tính thuần nhất, không mất tổng quát, giả sử

3 a b c   .Khi đó   , , 0;3 a b c và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

   

   

   

2 2 2

2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 3 3

a b c

a a b b c c

           

2 2 2 1 1 1 3 2 6 9 2 6 9 2 6 9 5 a a b b c c       …