Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức trong luyện thi đại học môn toán của thầy lê xuân đại

Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp

1

LÊ XUÂN ĐạI

(GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán th-ờng có trong các đề thi ĐH-

CĐ. Các thí sinh của chúng ta đều rất sợ và lúng túng khi gặp phải bài toán chứng minh

BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đơn giản là do các bài toán về BĐT th-ờng là bài

toán khó trong đề thi, nhằm phân loại và chọn đ-ợc các học sinh khá giỏi. Th-ờng thì các sĩ

tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán về BĐT. Bài viết này muốn hệ thống cho

các bạn các ph-ơng pháp cơ bản và một số dạng bài tập về BĐT. Hy vọng sẽ giúp các em

học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi ĐH- CĐ sắp tới.

Những lời khuyên bổ ích khi học về BĐT:

1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT

2. Nắm vững các ph-ơng pháp cơ bản chứng minh BĐT nh-: PP biến đổi t-ơng

đ-ơng; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm…

3. Đặc biệt chú trọng vào ôn tập các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trả

lời các câu hỏi nh-: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng xảy ra khi nào;

nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêm bớt nh- vậy…

4. Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số

BĐT cơ bản có nhiều áp dụng nh-ng phải chú ý điều kiện áp dụng đ-ợc, chẳng hạn nh-:

* 2 2 2 a b c ab bc ca (1)      với mọi a,b,c

* 2 (a b c) 3(ab bc ca) (2)      với mọi a,b,c

* 2 2 2 2 (a b c) 3(a b c ) (3)      với mọi a,b,c

* 1 1 4 1 1 1 9 ; (4) a b a b a b c a b c         với mọi a,b,c d-ơng

* 2 2 2 2 2 2 a x b y (a b) (x y) (5)        với mọi a,b,x,y.

*

2 2 2 x y (x y) (6) a b a b     với mọi a,b d-ơng và x,y bất kỳ

pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply open the document you want to convert, click “print”, select the “Broadgun pdfMachine printer” and that’s it! Get yours now!

Chuyên đề Bất đẳng thức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp

2

*

2 2 2 2 x y z (x y z) (7) a b c a b c        với mọi a,b,c d-ơng và x,y,z bất kỳ

………

Dấu bằng xảy ra ë các BĐT (1), (2), (3) và (4) là a=b=c.

Dấu bằng xảy ra ë BĐT (5) và (6) là x y a b  ; ë (7) là x y z a b c   (với mẫu khác 0).

(Các em hãy bắt tay ngay vào việc chứng minh các BĐT cơ bản trên nhé. Hãy tìm cho mình

một cách giải nhất quán, nhớ nó và khi làm bài thi đều phải chứng minh lại, rồi mới đ-ợc áp

dụng)

Tr-ớc hết xin đ-a ra 3 ph-ơng pháp thông dụng nhất để chứng minh BĐT

I. Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng:

1. Ph-ơng pháp chung

Để chứng minh A B  ta th-ờng thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta chứng minh A B 0   . Để làm đ-ợc điều này ta th-ờng sử dụng hằng đẳng thức

để phân tích A B  thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

Cách 2: Xuất phát từ một BĐT đúng nào đó ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Đối với

cách này th-ờng cho ta lời giải không đ-ợc tự nhiên cho lắm và th-ờng sử dụng khi các biến

có những ràng buộc đặc biệt.

Chú ý: Một số kết quả hay sử dụng

* 2 x 0  với mọi x và 2 x 0 x 0   

* x 0  với mọi x  và x 0 x 0   

2. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a,b ta có: 2 2 a b 2ab   (1)

Giải: Ta có 2 2 2 2 2 a b 2ab (a b) 0 a b 2ab         (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Thật đơn giản phải không các bạn, nếu tinh ý thêm một chút thôi các bạn sẽ tìm ra những

kết quả tổng quát hơn và niềm tin để v-ợt qua bài BĐT trong đề thi ĐH là hoàn toàn khả thi.

Cô thể là với ba số thực a,b,c bất kỳ ta có 2 2 a b 2ab   ; 2 2 b c 2bc   và 2 2 a c 2ac  

Cộng từng vÕ của 3 BĐT ta đ-ợc kết quả sau: 2 2 2 a b c ab bc ca      (2)

pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, simply …