Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức của thầy lê đình mẫn

Lê Đình Mẫn

NỬA PHẦN CÒN LẠI

http://k2pi.net

Trong cuộc sống, "Tình yêu" là một điều dường như không thểthiếu đối với mỗi chúng ta. Tạo hóa đã tạo ra hai giới khác nhau mang trong mình hai nửa của một vật thểhoàn hảo. Mỗi chúng ta ai cũng có một nửa của mình trong thếgiới này. Điều quan trọng là chúng ta sẽgặp một nửa ấy vào lúc nào, gặp trong hoàn cảnh nào, ởđâu và có thểta mãi mãi không tìm thấy. Chính vì thế, đừng tìm kiếm "Tình yêu", hãy để "Tình yêu" tìm ra bạn. Điều đó giải thích tại sao ta gọi " ngã vào tình yêu " ....bởi vì bạn cũng không thể tựbuộc mình ngã được. Chỉđơn giản là bạn bịngã thôi. Bạn cũng không thểnói rằng đã đọc xong quyển sách nếu bạn chưa kết thúc từng chương một. Còn muốn đọc tiếp tục ư? Thì bạn đành phải đểlại những gì đã qua khi muốn lật sang trang mới mà thôi. Có thểmột nửa ấy vẫn luôn ởbên mình, mà bản thân mình lại không nhận ra đểrồi tiếp tục hướng tới một nơi xa. Thật đáng tiếc cho những người như vậy! Vậy, "Toán học" có mối liên hệgì với "Tình yêu"? Tại sao tôi lại nói đến một nửa trong "Tình yêu" trong bài viết này? Có câu nói: "Toán học là thứngôn ngữngắn gọn nhất của cuộc sống". Toán học nói chung và bất đẳng thức toán học cũng vậy, nó luôn gắn chặt với thực tiễn cuộc sống. Bài viết này trình bày phương pháp giải một lớp các bất đẳng thức mà chủyếu là bất đẳng thức hoán vị. Phương pháp này tôi tạm gọi với cái tên "NỬA PHẦN CÒN LẠI". Cái tên đã nói lên tất cả! Với ý tưởng khá tựnhiên và đơn giản, chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp này thông qua các ví dụcụthểdưới đây:

Ví dụ1.(NESBITT) Cho các sốthực dương a, b, c thay đổi bất kì. Chứng minh rằng:

a b + c + b c + a + c a + b ≥3

2

Chứng minh. Đặt P = a b + c + b c + a + c a + b, Q = b b + c + c c + a + a a + b, R = c b + c + a c + a + b a + b.

Theo bất đẳng thức AM −GM ta có

P + Q = a + b

b + c + b + c

c + a + c + a

a + b ≥3, P + R = a + c

b + c + b + a

c + a + c + b

a + b ≥3

Suy ra 2P + Q + R ≥6, mà Q + R = 3 nên P ≥3

2.

Ví dụ2. Cho các sốthực a, b, c thay đổi và thõa mãn a + b + c = 2, a2 + b2 + c2 = 4. Tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = ab2 + bc2 + ca2

Chứng minh. Đặt a = x + 2

3, b = y + 2

3, c = z + 2

3. Khi đó giảthiết trởthành x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8

3 và P = xy2 + yz2 + zx2 + 8

9

Chúng ta sẽtìm giá trịlớn nhất của M = xy2+yz2+zx2 với x+y+z = 0, x2+y2+z2 = 8

3, xy+yz+zx = −4

3 Xét N = x2y + y2z + z2x ta có M + N = −3xyz, MN = (3xyz)2 −64

27

Từđây ta suy ra M = 3t + q

256

27 −27t2

2 hoặc M = 3t − q

256

27 −27t2

2 , t = xyz

1

Lê Đình Mẫn

Do đó, ta chỉcần tìm giá trịlớn nhất của M = 3t + q

256

27 −27t2

2 Theo bất đẳng thức Cauchy −Schwarz ta lại có

3t +

r

256

27 −27t2 ≤

s 1

3 + 1 27t2 + 256

27 −27t2 = 32

9

Do đó max M = 16

9 khi t = 8

27 hay max P = 8

3.

Và M = 3t − q

256

27 −27t2

2 đạt giá tịnhỏnhất. Mà 3t− q

256

27 −27t2 = 3

16

8

3 − q

256

27 −27t2 2 + 1

144(27t+

8)2 −32

9 ≥−32

9 Từđó suy ra min M = −16

9 khi t = −8

27. Vậy min P = −8

3.

Chú ý. Bài toán tổng quát: Cho các sốthực a, b, c thay đổi và thõa mãn a + b + c = m, a2 + b2 + c2 = n2, (3n2 ≥m2). Tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của biểu thức P = ab2 + bc2 + ca2

Ví dụ3. Cho các sốthực dương a, b, c thõa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

a a + b + b b + c + c c + a ≥ a + b + c a + b + c −1

Chứng minh. Đặt x = a + b + c, y = ab + bc + ca, suy ra x ≥3, y ≥3. Xét A = a a + b + b b + c + c c + a − a + b + c a + b + c −1, B = b a + b + c b + c + a c + a − a + b + c a + b + c −1

Ta có A + B = 3 − 2x x −1 = x −3

x −1 ≥0,

AB = 2xy −6

xy −1 + x3 + y3 −xy + 3

(xy −1)2 − 3x x −1 + x2

(x −1)2 .

Nếu ta chứng minh được AB ≥0 thì bài toán sẽđược giải quyết. Thật vậy, ta có

AB ≥0 ⇐⇒(x3 + y3 −9xy + 9 + 2x2y2)(x −1)2 −(2x2 −3)(xy −1)2 ≥0 (1)

Tiếp tục đặt x = u + 3, y = v + 3 ⇒u, v ≥0. Khi đó

(1) ⇐⇒u5+u2v3−u3v2+13u4+2u2v2+4uv3−11u3v+43u3+21uv2+4v3−48u2v+43u2−54uv+27v2 ≥0 (2)

Sửdụng bất đẳng thức AM −GM ta có

u5 + 2u2v3

3 ≥u3v2, 4(uv3 + u4 + u4) ≥12u3v ≥11u3v

(43u3 + 21uv2) + (5u4 + …