Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức môn toán của thầy trần sĩ tùng

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

4

III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: + ≤ sinx cosx 2

3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ≥ 7.

4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ≥ 725

47 .

5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ≥ 2464

137 .

6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2.

7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: + ≥ 2 2 1 a b 2

Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +   ≥   

3 3 3 a b a b 2 2 (*)

(*) ⇔ + +   − ≥    

3 3 3 a b a b 0 2 2 ⇔ ( )( ) + − ≥ 2 3 a b a b 0 8 . ĐPCM.

2. Chứng minh: + + ≤

2 2 a b a b 2 2 («)

÷ a + b ≤ 0 , («) luôn đúng.

÷ a + b > 0 , («) ⇔ + + + − ≤ 2 2 2 2 a b 2ab a b 0 4 2 ⇔ ( ) − ≥

2 a b 0 4 , đúng.

Vậy: + + ≤

2 2 a b a b 2 2 .

3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: + + ≥

3 3 3 a b a b 2 2 ⇔ ( ) + + ≤

3 3 3 a b a b 8 2

⇔ ( )( ) − − ≤ 2 2 3 b a a b 0 ⇔ ( ) ( ) − − + ≤ 2 3 b a a b 0 , ĐPCM.

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ + a b a b b a («)

(«) ⇔ + ≥ + a a b b a b b a ⇔ ( ) ( ) − − − ≥ a b a a b b 0

⇔ ( )( ) − − ≥ a b a b 0 ⇔ ( ) ( ) − + ≥ 2 a b a b 0 , ĐPCM.

5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ + + + 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b («)

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức

1

PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +   ≥   

3 3 3 a b a b 2 2

2. Chứng minh: + + ≤

2 2 a b a b 2 2

3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: + + ≥

3 3 3 a b a b 2 2

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ + a b a b b a

5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ + + + 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b

6. Chứng minh: ( ) + + + ≥ + + 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R

7. Chứng minh: ( ) + + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e

8. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 2 x y z xy yz zx

9. a. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3

b. Chứng minh: + + + +   ≥   

2 2 2 2 a b c a b c 3 3

10. Chứng minh: + + ≥ − + 2

2 2 a b c ab ac 2bc 4

11. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 a b 1 ab a b

12. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz

13. Chứng minh: + + + ≥ − + + 4 4 2 2 x y z 1 2xy(xy x z 1)

14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥ 3 3 1 a b 4

15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

2

II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ≥ ≥ (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0

2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0

3. Chứng minh: ( )( )( ) ( ) + + + ≥ +

3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c ≥ 0

4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +     + + + ≥        

m m

m 1 a b 1 1 2 b a , với m ∈ Z+

5. Chứng minh: + + ≥ + + ≥ bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c

6. Chứng minh: + ≥ − ≥ 6 9

2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4

7. Chứng minh: + ≥ − +

4 2 2 1 2a 3a 1 1 a .

8. Chứng minh: ( ) > − 1995 a 1995 a 1 , a > 0

9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .

10. Cho a , b > 0. Chứng minh:   + + ≤ + +     + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c

11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + − ab a b 1 b a 1. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( ) ≥ − − 3 a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc

c)     + + + ≥         1 1 1 1 1 1 64 a b c

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ≥ −

1 x 3 x y y

16. Chứng minh:

a) + ≥ +

2

2 x 2 2 x 1 ,∀x ∈ R b) + ≥ −

x 8 6 x 1 , ∀x > 1 c) + ≥ +

2

2 a 5 4 a 1

17. Chứng minh: + + + + ≤ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2

18. Chứng minh: + ≤ + +

2 2

4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R

19. Chứng minh: + + ≥ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức

3

20. Cho a , b , c > 0. …