Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức môn toán lớp 11 trường thpt yên phong số 2

Phong Thanh Dương

HS lớp 11, trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh

……………………………………………………………………………………………..

Bài T9-419 (THTT số tháng 5 – 2012)

ðề bài

Cho a, b, c > 0 và thoả mãn 2 2 2 1 1 1 1 1 1 15 10 2012. ab bc ca a b c

    + + = + + +         Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2 1 1 1 P . 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a = + + + + + + + +

Lời giải

Áp dụng bất ñẳng thức Côsi ta có 9 2 2 12 6 3 2 2 2 1 1 5a 2ab 2b 9 a b , 5a 2ab 2b 3 a b + + ≥ ⇒ ≤ + +

dấu “=” xảy ra khi a = b. Tương tự ta có 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 , . 5b 2bc 2c 3 b c 5c 2ca 2a 3 c a ≤ ≤ + + + +

Dẫn tới 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 P , 3 a b b c c a

  ≤ + +      

dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ta có

2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 2 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 P 3 3 a b b c c a a b b c c a

    ≤ + + ≤ + +            

(áp dụng bất

ñẳng thức

2 2 2 2 x y z x y z ). 3 3 + + + +  ≤     Tiếp tục áp dụng bất ñẳng thức Côsi

2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 2 4 2 4 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 , , . a b b c c a a b b c c a + ≥ + ≥ + ≥

Như vậy 2 2 2 2 1 1 1 1 P (*), 3 a b c

  ≤ + +     dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Từ giả thiết và áp dụng bất ñẳng thức 2 2 2 x y z xy yz zx, + + ≥ + + ta có

2 2 2 2 2 2

(*) 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 10 2012 10 2012 ab bc ca a b c a b c

1 1 1 2012 1 1 1 1 2012 2012 P P (**). 5 3 15 15 a b c a b c

      + + = + + + ≤ + + +            

  ⇒ + + ≤ ⇒ ≤ + + ≤ ⇒ ≤    

Dấu “=” ở (**) xảy ra khi 15 a b c . 2012 = = = Vậy 2012 maxP . 15 ≤

Tổng quát bài toán

ðề bài

Cho các hằng số dương x,y,z,t, , , α β γ mà 0 t 1, 0, < ≤ α > β > và hằng số n *. ∈ℕ

Cho n biến số thực dương 1 n a ,...,a thoả mãn

n n

2 i i i i 1 i 1

1 1 . a b a = = α = β + γ ∑ ∑ Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

n

2 2 t i i i i i 1

1 F . (xa ya c zc ) = = + + ∑ Ở ñó 1 n (b ,...,b ) và 1 n (c ,...,c ) là hai

hoán vị cho trước của 1 n (a ,...,a ) (Quy tắc xác ñịnh hai hoán vị này là không thay ñổi).

Lời giải

a) ðầu tiên ta xét hàm số f (X) X ,X 0, 1, λ = > λ ≥ có 1 f '(X) .X , λ− = λ

2 f ''(X) ( 1)X 0,X 0, 1. λ− = λ λ − ≥ > λ ≥ Do ñó hàm f(X) có ñồ thị quay bề

lõm lên trên, và nhờ bất ñẳng thức Jensen ta có

n n

i i i 1 i 1

1 1 X X (1), n n

λ

λ

= =

  ≤       ∑ ∑ với

1 n X ,...,X 0, > dấu “=” ở (1) xảy ra khi 1 λ = hoặc 1 n X ... X . = =

b) Áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacốpxki ta có

2 2 n n n n n n

2 2 2 2 i i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

1 1 1 1 1 1 . a b a b a b a a = = = = = =

       ≤ = ⇒ ≤                      ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

n n n n

2 2 2 i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1

1 1 1 1 (2). a b a a a = = = =

γ ⇒α = β + γ ≤β + γ ⇒ ≤α −β ∑ ∑ ∑ ∑

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi hai bộ i i (a ), (b ) tỉ lệ và

n n

2 i i i i 1 i 1

1 1 . a b a = = α = β + γ ∑ ∑

c) Tiếp theo, do x, y, z > 0 nên x x z 0 1, x y z x y z x y z < < + < + + + + + + và

z x z 0 1. x y z x y z x y z < < + < + + + + + + Vì ℚtrù mật trong ℝ nên tồn tại hai

dãy số k k (p ), (q ) ⊂ℚ sao cho k k k k x z lim p , lim q , x y z x y z →+∞ →+∞ = = + + + +

và k k k k k k 0 p p q 1, 0 q p q 1, < < + < < < + < với k ñủ lớn. Ta biểu diễn

k k p ,q ở dạng phân số, sau ñó gọi k m là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu của

hai số ñó, bây giờ viết k k k k k k

u v p ,q m m = = với k k k k k k m , u , v , m u v − − là

những số nguyên dương và k m 2 ≥ (với k ñủ lớn). Bây giờ với k ñủ lớn, với

i 1,n, = áp dụng bất ñẳng thức Côsi và bất ñẳng thức (1), ta có

k k k k k k k i

k k k k

k k k k

k

m m u v m u v 2 2 k k i k k k i i k i i

1 p q 1 p q 2 2 k i k i k k i i i i n n 1 p q 1 p q 2 2 t t k k i k i k k i i i i i 1 i 1

1 t 1 p k i

u a v c (m u v )a c m a .c

p a q c (1 p q )a c a .c (i 1,n)

F : (p a q c (1 p q )a c ) (a .c )

1 1 F (a n n

+ − − +

+ − − +

+ − − + − −

= =

+

+ + − − ≥

⇒ + + − − ≥ =

⇒ = + + − − ≤

  ⇒ ≤    

∑ ∑

k k k k k k k

1 n n (1) t q 1 p q 1 p q 1 p q t 1 i i i i 1 i 1

1 .c ) (a .c ) (3). n

− − + + − − + − −

= =

  ≤       ∑ ∑

Cũng với k ñủ lớn và áp …