Xem trước nội dung
mathscope.org
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
“If a man’s wit be wandering, let him study the mathematics.”
d Francis Bacon (1561-1626)
1 Đềbài
Bài 1. Cho x, y, z là các sốthực dương. Chứng minh rằng
x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) ⩾(xy + yz + zx) 3q
(x + y)(y + z)(z + x).
Bài 2. Cho a, b, c là các sốdương. Chứng minh rằng
(1 + abc) 1 a(1 + b) + 1 b(1 + c) + 1 c(1 + a)
⩾(a5 + b5 + c5)(a3 + b3 + c3)
a8 + b8 + c8 .
Bài 3. Cho ba sốthực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức
P = x3 + y3 + 1
2z3.
Bài 4. Cho a, b, c là các sốthực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
a3(b7 + c + 1) b7(b + 1)(c + 1) + b3(c7 + a + 1)
c7(c + 1)(a + 1) + c3(a7 + b + 1) a7(a + 1)(b + 1) ⩾9
4.
Bài 5. Cho a, b, c là các sốdương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
(3a −1)2
2a2 + 1 + (3b −1)2
2b2 + 1 + (3c −1)2
2c2 + 1 ⩾4.
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có
1 a(1 + b) + 1 b(1 + c) + 1 c(1 + a) ⩾ 3 1 + abc.
Bài 7. Cho a, b, c là các sốdương. Chứng minh rằng
ab2
a2 + 2b2 + c2 + bc2
b2 + 2c2 + a2 + ca2
c2 + 2a2 + b2 ⩽a + b + c
4 .
1
mathscope.org
2 Bất đẳng thức và cực trị
Bài 8. Cho các sốa, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh bất đẳng thức
1 3 + 2(a2 −bc) + 1 3 + 2(b2 −ca) + 1 3 + 2(c2 −ab) ⩾1.
Bài 9. d
(a) Tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của hàm số
f (x) = 2 cos x
2 + √
6 sin x.
(b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta đều có
sin A + sin B + √
6 sin C ⩽5 √
10 4 .
Bài 10. Cho a, b, c là các sốthực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
4(a3 + b3 + c3) + 15abc ⩾1.
Bài 11. Cho các sốkhông âm phân biệt a, b, c. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức
P = (a2 + b2 + c2)
" 1
(a −b)2 + 1
(b −c)2 + 1
(c −a)2
#
.
Bài 12. Cho ba sốdương a, b, c thỏa mãn abc ⩽1. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức
P = 3 s
a2 + a a2 + a + 1 + 3 s
b2 + b b2 + b + 1 + 3 s
c2 + c c2 + c + 1.
Bài 13. Chứng minh rằng với mọi α ∈R, ta có √
17 ⩽ p
cos2α + 4 cos α + 6 + p
cos2α −2 cos α + 3 ⩽ √
2 + √
11.
Bài 14. Cho a, b, c là ba sốdương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng
a
1 + (b + c)2 + b
1 + (c + a)2 + c
1 + (a + b)2 ⩽ 3(a2 + b2 + c2) a2 + b2 + c2 + 12abc.
Bài 15. Cho a, b, c là các sốthực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P = (a −b)3 + (b −c)3 + (c −a)3.
2 Lời giải và bình luận
Bài 1 (Hưng Yên). Cho x, y, z là các sốthực dương. Chứng minh rằng
x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) ⩾(xy + yz + zx) 3q
(x + y)(y + z)(z + x).
mathscope.org
Đềthi các trường và các tỉnh năm học 2011-2012 – Lời giải và bình luận 3
Lời giải. Sửdụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
3q
(x + y)(y + z)(z + x) ⩽(x + y) + (y + z) + (z + x)
3 = 2
3(x + y + z).
Từđó suy ra, bất đẳng thức đã cho sẽđược chứng minh nếu ta chỉra được
3 h x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) i ⩾2(x + y + z)(xy + yz + zx).
Do (x + y + z)(xy + yz + zx) = x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 3xyz nên bất đẳng thức trên tương đương với
3 h x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) i ⩾2 h x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 3xyz i ,
hay x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) ⩾6xyz.
Lại do x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) = x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) nên ta chỉ phải chứng minh x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) ⩾6xyz.
Tuy nhiên, sau khi viết lại bất đẳng thức ởdạng này thì ta thấy ngay nó hiển nhiên đúng theo AM-GM, cụthểlà
x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) ⩾x · 2yz + y · 2zx + z · 2xy = 6xyz.
Phép chứng minh được hoàn tất. Chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x = y = z.
Bài 2 (Hà Tĩnh). Cho a, b, c là các sốdương. Chứng minh rằng
(1 + abc) 1 a(1 + b) + 1 b(1 + c) + 1 c(1 + a)
⩾(a5 + b5 + c5)(a3 + b3 + c3)
a8 + b8 + c8 .
Lời giải. Sửdụng kết quảbài 6 (đềthi chọn đội tuyển thành phốHồChí Minh), ta có
(1 + abc) 1 a(1 + b) + 1 b(1 + c) + 1 c(1 + a)
⩾3.
Từđó, ta đưa được bài toán vềchứng minh
3(a8 + b8 + c8) ⩾(a5 + b5 + c5)(a3 + b3 + c3).
Và đây là một kết quảđúng (theo bất đẳng thức Chebyshev áp dụng cho hai bộđơn điệu cùng chiều (a5, b5 c5) …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
