Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức karamata và một số ứng dụng của cao minh quang

1

Bất ðẳng Thức Karamata và Một Số Ứng Dụng

Cao Minh Quang

THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long

1. Lời giới thiệu

Jovan Karamata sinh ngày 1 tháng 2 năm 1902 tại Zagreb, Serbia. Bắt ñầu học ở khoa cơ khí từ năm 1920, nhưng ñến năm 1922, ông chuyển ñến khoa toán ñể học. Tốt nghiệp năm 1925, ngay lập tức Karamata ñược nhận làm trợ giảng cho giáo sư Mihailo Petrovic. Ông nhận ñược học vị tiến sĩ năm 1926, trở thành giáo sư ðại học Belgrade vào năm 1950. Năm 1951 Karamata rời Belgrade, ñến giảng dạy tại ðại học Geneva. Ông sống và làm việc ở ñây ñến cuối ñời. Karamata mất ngày 14 tháng 8 năm 1967.

Bất ñẳng thức Karamata là một dạng tổng quát của bất ñẳng thức Jensen.

2. Bất ñẳng thức Karamata

Trước hết, ta sẽ ñịnh nghĩa các bộ trội.

2.1. ðịnh nghĩa.

Nếu 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ... , ... , , x , ..., ... ... n n n n x x x y y y x y x y y x x x y y y − − ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ + ≥ + + + + ≥ + + +

và 1 2 1 2 ... ... n n x x x y y y + + + = + + + thì ta nói bộ ( ) 1 2 , ,..., n x x x trội hơn bộ ( ) 1 2 , ,..., n y y y và ta kí hiệu

là ( ) ( ) 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n x x x y y y ≻ hay ( ) ( ) 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n y y y x x x ≺ .

Hiển nhiên, nếu 1 2 ... n x x x ≥ ≥ ≥ thì ( ) ( ) 1 2 , ,..., , ,..., n x x x x x x ≻ , trong ñó 1 2 .. n x x x x n + + + = .

2.2. Bất ñẳng thức Karamata

Nếu hàm số ( ) f x là hàm lồi trên ñoạn [ ] , I a b = và ( ) ( ) 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n x x x y y y ≻ với mọi , i i x y I ∈ thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ... ... n n f x f x f x f y f y f y + + + ≥ + + + .

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , 1,2,..., i i x y i n = = .

Ta cũng có phát biểu tương tự ñối với hàm số lõm bằng cách ñổi chiều dấu bất ñẳng thức.

Chứng minh. Vì ( ) f x là hàm lồi nên ( ) ( ) ( ) ( ) . ' , , f x f y x y f y x y I − ≥ − ∀ ∈. Thật vậy:

• Nếu x y ≥ thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' , , f x f y f f y y x x y α α − = ≥ ∈ − .

• Nếu x y ≤ thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' , , f y f x f f y x y y x β β − = ≤ ∈ − .

Từ ñó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) . ' , , , 1,2,..., i i i i i i i f x f y x y f y x y I i n − ≥ − ∀ ∈ = .

Chú ý rằng ( ) ( ) 1 1 2 1 2 ' ' , ... ... , 1,2,..., 1 i i i i f y f y x x x y y y i n + ≥ + + + ≥ + + + = −, sử dụng khai triển Abel, ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 . ' ' ' ... '

n n

i i i i i n n n i i f x f y x y f y x y f y x y f y x y f y

= =   − ≥ − = − + − + + −   ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 ' ' ' ' ... x y f y f y x x y y f y f y     = − − + + − − − +    

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ... ... ' ' ... ... ' 0 n n n n n n n x x x y y y f y f y x x x y y y f y −   + + + + − − −− − + + + + − − −− ≥   .

2

Do ñó

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ... ... n n f x f x f x f y f y f y + + + ≥ + + + .

2.3. Hệ quả. (Bất ñẳng thức Jensen). Nếu hàm số ( ) f x là hàm lồi trên ñoạn [ ] , I a b = , thì với mọi

( ) , 1,2,..., ix I i n ∈ = , ta có

( ) ( ) ( )

1 2 1 2 ... ... n n

x x x f x f x f x nf n

  + + +   + + + ≥     .

Chứng minh. Do tính chất ñối xứng, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 1 2 ... n x x x ≥ ≥ ≥ .

Khi ñó ta có ( ) ( ) 1 2 , ,..., , ,..., n x x x x x x ≻ , trong ñó 1 2 .. n x x x x n + + + = . Sử dụng bất ñẳng thức Karamata

ta có ngay ñiều cần chứng minh.

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... n x x x = = = .

Sau ñây ta sẽ nêu một số ví dụ ñể minh họa cho việc ứng dụng của bất ñẳng thức Karamata. 4. Một số ví dụ

4.1. Ví dụ 1. Cho 2n số thực dương ( ) , 1,2,.., i i a b i n = thỏa mãn các ñiều kiện sau 1 2 ... n a a a ≥ ≥ ≥ ,

1 2 ... n b b b ≥ ≥ ≥ , 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,..., ... ... n n a b a a bb a a a bb b ≥ ≥ ≥ . Chứng minh rằng

1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b + + + ≥ + + + .

Lời giải. ðặt ( ) ln , ln 1,2,..., i i i i x a y b i n = = = . Với các ñiều kiện ñã cho, ta dễ dàng kiểm tra ñược

rằng ( ) ( ) 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n x x x y y y ≻ . Dễ thấy rằng ( )

x f x e = là hàm lồi trên ( ) 0,+∞, do ñó, áp dụng bất ñẳng thức Karamata, ta có

1 2 1 2 ... ... n n x y x x y y …