Bài tập có đáp án chi tiết về kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức bunyakovski môn toán

1

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

BUNYAKOVSKI

A. MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

 Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể

sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh

hơn.

 Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta

kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải

các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình

thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này.

 Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra

đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp

dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn

với cùng một điều kiện của biến.

 Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt

được tại vị trí biên.

 Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các

bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu

bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó

bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.

B. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

I. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Cho n số thực không âm n a a a ,..., , 2 1 , 2 ,   n Z n , ta luôn có:

n

n n a a a n a a a ... . . ... 2 1 2 1    

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n a a a    ... 2 1

http://boxtailieu.net

boxtailieu.net

2

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

1. Kỹ thuật tách ghép bộ số

1.1 Kỹ thuật tách ghép cơ bản

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:     abc a c c b b a 8    

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

    abc ac bc ab a c c b b a 8 2. 2. 2      (đpcm)

Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:

   d c b a bd ac    

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

        

1 2 1 2 1 2 1

. .

      

           

         

   

       



d c

d c b a

b a d c

d b a

b d c

c b a

a

d c

d b a

b d c

c b a

a

d c b a

bd ac

   d c b a bd ac      (đpcm)

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

  





c b

c a . Chứng minh rằng:

    ab c b c c a c    

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

       

1 1 2 1 1 2 1

2 1 2 1

. .

                  

                 

      

b c a c a c b c

b

c b a c a

c a b c

b

c b a c a

c a b c

ab

c b c c a c

    ab c b c c a c      (đpcm)

http://boxtailieu.net

boxtailieu.net

3

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

    3 3 1 1 1 1 c b a abc     

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

           

1 1 1 1 1 1 1 3 1

1 1 1 3 1 1

1 1

1 1

1 3 1

1 . 1 . 1 1

1 . 1

1 . 1

1

1 1 1

1

3 3 3

3

      

        

     

           

     

          



c c b b a a

c c b b a a c b a

c c b b a a c b a c b a

abc

    3 3 1 1 1 1 c b a abc       (đpcm)

Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa

  





1

1

b

a . Chứng minh rằng:

ab a b b a     1 1

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

  2 2 1 1 ab a ab a a ab a b a        (1)

Tương tự: 2 1 ab a b   (2)

Cộng theo vế (1) và (2), ta được:

ab a b b a     1 1 (đpcm)

Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng:    

4 2 16 b a b a ab   

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

          

4

2 2 2 2 2 2

2 .4 2 4 .4 4 .4 16 b a b a b a ab b a ab b a ab    

  

    

  

       (đpcm)

Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, …