Bài tập có đáp án chi tiết về bổ đề thông thường trong bất đẳng thức môn toán

Trang 1

NHỮNG BỔ ĐỀ THƯỜNG DÙNG KHI

GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Thế giới toán bất đẳng thức là một khung trời đầy tính nghệ thuật,lãng mãn và sự thách thức trị tuệ con người.Ta vẫn nhớ đến bất đẳng thức quen thuộc Nesbit:

Khi cho , , a b c  ta có 3 2 a b c b c c a a b       .Bài toán thoáng đơn giản với hơn 50 cách

chứng minh đã được công bố,tuy nhiên con đường mở rộng bất đẳng thức trên lại trải qua hang chục năm dài.Điều đó minh chứng cho ta thấy việc bước trên đường giải toán bất đẳng thức không phải dể đi.Chính vì thế những ai thật sự đam mê mới làm nên thành công trên bước đường chinh phục các biến số , , a b c than quen này.Nhằm tạo cho các bạn những định nghĩa ban đầu về hướng đi đến những bài toán bất đẳng thức hay qua những bổ đề ,đẳng thức nhỏ,chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại nhiều bổ đề đơn giản ấy,các bạn sẽ sáng tạo ra nhiều bài toán bất đẳng thức hay hơn, đẹp hơn nữa.Bài viết nhỏ này nếu có gì sai sót mong nhận được sự góp y từ các bạn và nếu bạn nào có những bổ đềhay hơn xin gởi về địa chỉ email: ngohoangtoan1994@gmail.com để tác giả tổng hợp cho bài viết thêm sinh động.Thân ái!

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG QUAN TÂM

1.       2 2 2 2 2 2 ab bc ca a b b c c a a b b c c a         

       3 3 3 3 3 3 ab bc ca a b b c c a a b c a b b c c a           

     2 3 3 2

cyc cyc a b a b ab bc ca a b b c c a         

     4 4 2 2 2

cyc cyc ab a b ab bc ca a b c a b b c c a            

2. . 1

cyc

a b b c a b b c      

ứng dụng:Cho , , a b c đôi một khác nhau.Chứng minh rằng:

      2 2 2

1 4 ab bc ca

a b b c c a      

Đào Hải Long Lời giải

Trang 2

Ta có:

 

2

2 1 2 2 ab a b a b a b

                      

Mà

2

2 . 2

cyc

a b a b b c a b a b b c

                    

3. . 1 k a k b b c c a      

ứng dụng: tương tự đẳng thức 2 ta có bất đẳng thức sau:

2 2 2

2 k a k b k c b c c a a b                           

Trần Quốc Anh

4.     

2

1 b c

a b a c

    

5.   1 1. 1 ab bc a b b c      

6.             2 4 4 4 4 2 2 2 3 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a                    

7.

2 2

2 2 2 . a bc b ca a b c b c c a        

8.  

2 2

2 . a bc b ca a b c b c c a        

9.      3 3 3 3 3 a b c a b c a b b c c a         

10.        2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y z x y z y z x z x y           

11. . . 0 a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a                

12. . . 0 1 1 1 1 a b a b b c c a c c a b           

13.   

2

1 a a b a c    

14.        2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c ab bc ca a b c abc          

15.       3 3 3 2 2 2 3 a b c abc a b c a b c ab bc ca           

16.       a b b c c a a b c ab bc ca abc         

17.        3 2 x a x b x c x x a b c x ab bc ca abc           

18.        3 2 x a x b x c x x a b c x ab bc ca abc           

19.          x a b a c y b c b a z c a c b        