Bài tập có đáp án chi tiết về hệ phương trình của boxmath phần 2

http://boxmath.vn

48 HệPhương Trình của BoxMath

103 Giải hệphương trình:   

 

x + 1

x + y + 1

y = 5

x2 + 1

x2 + y2 + 1

y2 = 9

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Phương trình trong hệta viết hệdưới dạng:    

  

x + 1

x

+ y + 1

y

= 5 (1) x + 1

x

2 + y + 1

y

2 = 13 (2)

Làm gọn lại hệ, ta đặt:   

 

x + 1

x = a

y + 1

y = b ⇔

 

 a + b = 5

a2 + b2 = 13 ⇔

 

 a = 5 −b

2b2 −10b + 12 = 0 (3)

Giải phương trình (3), ta có nghiệm: ⇔2b2 −10b + 12 = 0

⇔b = 3 - Với: b = 3 dẫn đến a = 2, ta có được hệ:   

 

x + 1

x = 2

y + 1

y = 3 ⇔

 

 x2 −2x + 1 = 0

y2 −3y + 1 = 0 ⇔

  

 

x = 1

y = 3 ± √

5 2

Vậy hệđã cho có 2 bộnghiệm (x; y) = (1; 3 + √

5 2 ), (1; 3 − √

5 2 ) ■

104 Giải hệphương trình:  

 x4 −x3y + x2y2 = 1

x3y −x2 + xy = −1

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Hệphương trình đã cho tương đương với hệ:  

 x2(x2 −2xy + y2) + x3y = 1

−x(x −y) + x3y = −1 ⇔

 

 x2 (x −y)2 + x3y = 1

−x(x −y) + x3y = −1

⇔

 

 x3y = −1 + x(x −y) (1)

x2 (x −y)2 + x(x −y) −2 = 0 (2)

Giải phương trình (2), ta đặt x(x −y) = a, nên có: ⇔a2 + a −2 = 0

⇔

" a = 1

a = −2 Với a = x(x −y) = 1, ta đem thếvào phương trình (1), vậy nên dẫn đến:

boxmath.vn 1

http://boxmath.vn

⇔x3y = 0

⇔

" x = 0

y = 0 Với x = 0 hệphương trình đã cho vô nghiệm Với y = 0 thếvào ta được nghiệm x = 1 Vậy hệphương trình đã cho có 1 bộnghiệm (x; y) = (1; 0) ■

105 Giải hệphương trình:  

 y3 = x3 (9 −x3)

x2y + y2 = 6x

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Xét trường hợp x = 0 dẫn đến y = 0 Xét trường hợp x, y ̸= 0, ta viết lại hệphương trình dưới dạng:  



(x2 + y) (x4 −xy + y2) = 9x3(1)

x2 + y = 6x

y (2)

Lây (2) thếvào(1), ta được: ⇔2 x4 −x2y + y2 = 3x2y

⇔2 x4 + 2x2y + y2 = 9x2y

⇔ x2 + y 2 = 9

2x2y

(3) Bình phương 2 vếphương trình (2), ta có:

⇔ x2 + y 2 = 36x2

y2 (4)

Từ(3) và (4), ta có được phân tích sau: ⇔y3 = 8

⇔y = 2 Với y = 2 đem thếvào (2), ta được nghiệm x = 2 và x = 1: Vậy nên hệphương trình đã cho có 2 bộnghiệm (x;y)=(1;2),(2;2) ■

106 Giải hệphương trình:       

     

3 √

3x1 = cos (πx2)

3 √

3x2 = cos (πx3)

3 √

3x3 = cos (πx4)

3 √

3x4 = cos (πx1)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Giảsửx1 = max (x1; x2; x3; x4).

Vậy nên dẫn đến có điều kiện sau: 0 < x1; x2; x3; x4 < 1

2 Do y = cosx nghịch biến trên 0; π

2

nên từcác phương trình trong hệta được kết quảsau:

boxmath.vn 2

http://boxmath.vn

x2 = min (x1; x2; x3; x4)

x3 = max (x1; x2; x3; x4)

x4 = min (x1; x2; x3; x4) Thếnên hệphương trình đã cho trởthành hệ:  

 3 √

3x1 = cos (πx2)

3 √

3x2 = cos (πx1)

Ta suy ra được phân tích:

3 √

3 (x1 −x2) = 2 sin π (x1 −x2)

2 . sin π (x1 + x2)

2 Hay cũng là: 3 √

3 (x1 −x2)

2 ≤sin π (x1 −x2)

2 ≤π (x1 −x2)

2 (1)

Mà do giảthiết x1 ≥x2 và 3 √

3 > π nên (1) xảy ra khi x1 = x2 hay 3 √

3π = cos (πx1) Vậy nên ta có được phân tích sau: ⇔3 √

3π −cos (πx1) = 0 (2) Vếtrái của (2) là một hàm đồng biến nên phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm

Dễthấy x1 = 1

6 là nghiệm của phương trình (2)

Tóm lại là hệphương trình đã cho có nghiệm x1 = x2 = x3 = x4 + 1

6 ■

107 Giải hệphương trình:  



x + 2

y = y + 2

x √x + 8 = √2y + 2 + √3y −2

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải

Điều kiện:

 



x ≥−8

y ≥2

3

Xét phương trình x + 2

y = y + 2

x, ta có:

x −2

x = y −2

y

Xét hàm đặc trưng f (t) = t −2

t , với f ′ (t) = 1 + 2

t2 > 0, ∀t …