Bài tập có đáp án chi tiết về hệ phương trình của boxmath phần 3

60 HệPhương Trình của BoxMath

151 Giải hệphương trình:  

 x3 + y = 2 (1)

y3 + x = 2 (2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách 1 Trừvếtheo vếhai phương trình trong hệta được: (x −y) (x2 + xy + y2 −1) = 0 - Trường hợp x = y. Thay lại vào (1) ta được: x3 + x = 2 ⇔(x −1) (x2 + x + 2) ⇔x = 1 (vì x2 + x + 2 > 0 ∀x ∈R) - Trường hợp x2 + y2 + xy = 1 Không mất tính tổng quát ta giảsửx ≥y, từ(1) ta có: 2 = x3 + y ≤x3 + x ⇔x3 + x −2 ≥0

⇔(x −1) x2 + x + 2 ≥0

⇔x ≥1 (vì x2 + x + 2 > 0 ∀x ∈R) • 1 ≤x ≤2 ⇒0 ≤y ≤1 khi đó ta có: x3 + y ≥x + y3

Dấu "=" xảy ra khi và chỉkhi x = y = 1 Thửlại thấy không thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1 • x ≥2. Ta có:

x2 + xy + y2 = 1

2x + y 2 + 3

4x2 ≥3 > 1 ⇒hệvô nghiệm

Vậy nghiệm của hệphương trình là: x = y = 1 ■ Cách 2 Trừvếtheo vếhai phương trình trong hệta được: (x −y) (x2 + xy + y2 −1) = 0 - Với x = y. Thay lại vào (1) ta được: x3 + x = 2 ⇔(x −1) (x2 + x + 2) ⇔x = 1 (vì x2 + x + 2 > 0 ∀x ∈R) - Với x2 + y2 + xy = 1 ⇔(x + y)2 −xy = 1 Cộng vếtheo vếhai phương trình ban đầu ta được: x3 + y3 + x + y = 4 ⇔(x + y)3 −3xy (x + y) + x + y = 4 Đặt: a = x + y ; b = xy (a2 ≥4b) khi đó ta có hệ: ( a2 −b = 1

a3 −3ab + a = 4 ⇔

 

 a2 −b −1 = 0

a (a2 −3b + 1) = 4 ⇔

 

 a (−2b + 2) = 4 (3)

a2 −b −1 = 0 (4)

Từ(3) suy ra: a ̸= 0, b ̸= 1 và a = 2 1 −b Thay vào (4): 2 1 −b

2 −b −1 = 0 ⇔b3 −b2 −b −3 = 0

⇔(b −2) b2 + b + 1 = 1

⇒b > 2 Từđó suy ra:

boxmath.vn 1

a2 −4b ≤−4b = −8 < 0 ⇒vô lý ⇒hệvô nghiệm Vậy hệcó nghiệm (x; y) = (1; 1) ■ Chú ý: Ta có thểchứng minh x2 + xy + y2 −1 = 0 vô nghiệm như sau: Từa2 −b = 1 và a2 ≥4b ta có:

1 = a2 −b ≥a2 −a2

4 ⇔a2 ≤4

3 ⇔|a| ≤2 √

3 Thay b = a2 −1 vào a3 −3ab + a = 4 ta được: a3 −2a + 2 = 0

Khảo sát hàm sốf(a) = a3 −2a + 2 trên đoạn −2 √

3; 2 √

3

Ta dễthấy phương trình f(a) = 0 với a ∈ −2 √

3; 2 √

3

vô nghiệm ⇒hệvô nghiệm

Cách 3 Cộng, trừhai vếtương ứng của hai phương trình ta được:  

 (x −y) (x2 + xy + y2 −1) = 0

(x + y) (x2 −xy + y2 + 1) = 4

Trường hợp 1: x = y dễthấy là hệcó nghiệm (x; y) = (1; 1) Trường hợp 2: Xét hệhai ẩn S, P:  

 S2 −P = 1 (1)

S (S2 −3P + 1) = 4 (2)

với S = x + y và P = xy (S2 ≥4P)

Từ(1) và điều kiện S2 ≥4P ta suy ra: −1 ≤P ≤1

3 Thay S2 = 1 + P vào (2) ta được: S (1 −P) = 2

Từđây suy ra S > 0 Mặt khác (2) được viết lại theo ẩn S là:

S3 −2S + 2 = 0

Xét: f(S) = S3 −2S + 2 với S > 0. Lập bảng biến thiên ta thấy f(S) > 0 với mọi S > 0 nên trường hợp 2 vô nghiệm. Vậy hệphương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (1; 1) ■

152 Giải hệphương trình:  

 x3 + 4y = y3 + 16x

1 + y2 = 5 (1 + x2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Cách 1 Hệđã cho tương đương với:  

 y (y2 −4) = x (x2 −16)

y2 −4 = 5x2

boxmath.vn 2

Từđó suy ra:

5x2y = x (x2 −16) ⇔x (5xy −x2 + 16) = 0 ⇔



 x = 0

y = 1

5

x −16

x

- Với x = 0 ta có: y2 −4 = 0 ⇔y = ±2

- Với y = 1

5

x −6

x

ta có:

1 25

x −16

x

2 −4 = 5x2 ⇔x2 −32x + 256

x2 −100 = 125x2

⇔31x2 + 33 −64

x2 = 0

⇔ x −1

x

31x + 64

x

= 0

⇔

" x2 = 1

31x2 = −64 (vô nghiệm)

⇔

" x = 1 ⇒y = −3

x = −1 ⇒y = 3 Vậy hệđã cho có nghiệm (x; y) = (0; −2), (0; 2), (1; −3), (−1; 3) ■ Cách 2 Viết lại hệđã cho dưới dạng: ( x3 −y3 = 16x −4y (1)

y2 −5x2 = 4 (2) Nhân (1) với 4 và khéo léo thay (2) vào ta được phương trình: 4 x3 −y3 = (16x −4y) y2 −5x2

⇔x3 −y3 = (4x −y) y2 −5x2

⇔x3 −y3 = 4xy2 −20x3 −y3 + 5x2y

⇔x 21x2 −4y2 −5xy = 0

⇔x (4y −7x) (y + 3x) = 0 ⇔





x = 0

y = 7

4x

y = −3x - Với x = 0 thếlại vào (2) ta suy ra y = ±2

- Với y = 7

4x vào (2) ta được:

31x2 = −64 (vô nghiệm) - Với y = −3x vào (2) ta được:

4x2 = 4 ⇔

" x = −1 ⇒y = 3

x = 1 ⇒y = −3 Vậy hệphương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 2), (0; −2), (−1; 3), (1; −3) ■ Cách 3 Viết hệphương trình đã cho lại dưới dạng:  

 x3 −y3 = 16x −4y (1)

y2 −5x2 = 4 (2)

boxmath.vn 3