Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức bằng cách dùng đạo hàm khử dần số biến của thầy võ quốc bá cẩn

http://onluyentoan.vn

GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH DÙNG ĐẠO HÀM KHỬDẦN SỐBIẾN

Võ Quốc Bá Cẩn12

1 Kiến thức chuẩn bị

2 Các ví dụminh họa

Ví dụ1. Cho a và b là hai sốdương thỏa mãn a + b = 2. Chứng minh rằng

a4 + b4 ⩾2.

Chứng minh. Từgiảthiết, ta suy ra b = 2−a. Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành a4 + (2 −a)4 ⩾2.

Do b > 0 nên ta có 2 −a > 0, tức a < 2. Kết hợp với giảthiết a > 0, ta được 0 < a < 2. Như vậy, ta chỉphải chứng minh bất đẳng thức trên với 0 < a < 2 là đủ.

Xét hàm sốf(a) = a4 + (2 −a)4 với a ∈(0, 2). Ta có

f ′(a) = 4a3 −4(2 −a)3 = 4 a3 −(2 −a)3 .

Phương trình f ′(a) = 0 tương đương với a3 = (2 −a)3, tức a = 2 −a. Giải ra, ta được a = 1. Từđó ta có bảng biến thiên của f(a) trên (0, 2) như sau

a 0 1 2

f ′(a) − 0 +

f(a)

16 & 2 % 16

Với kết quảthu được từbảng biến thiên, ta dễthấy

f(a) ⩾f(1) = 2, ∀a ∈(0, 2).

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh xong. Dễthấy đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b = 1 (xem lại bảng biến thiên).

1Nickname can_hang2007 ởDiễn đàn Cùng nhau vượt Đại dương http://onluyentoan.vn. 2Bài viết được trình bày bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đềnghịcác bạn ghi rõ nguồn của http://onluyentoan.vn khi đăng tải trên các trang web khác.

1

http://onluyentoan.vn

2 Võ Quốc Bá Cẩn

Ví dụ2. Xét các sốthực x, y thỏa mãn 2x −y = 2. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = p

x2 + (y + 1)2 + p

x2 + (y −3)2.

Lời giải. Từgiảthiết, ta có y = 2x −2. Thay vào, ta viết được biểu thức P dưới dạng

P = q

x2 + (2x −2) + 1 2 + q

x2 + (2x −2) −3 2

= p

x2 + (2x −1)2 + p

x2 + (2x −5)2 = √

5x2 −4x + 1 + √

5x2 −20x + 25.

Xét hàm sốf(x) = √

5x2 −4x + 1 + √

5x2 −20x + 25 trên R. Tính đạo hàm của f(x), ta có

f ′(x) = 5x −2 √

5x2 −4x + 1 + 5x −10 √

5x2 −20x + 25.

Ta sẽtìm nghiệm của f ′(x) = 0. Phương trình này tương đương với

 



(5x −2)(5x −10) ⩽0 (5x −2)2

5x2 −4x + 1 = (5x −10)2

5x2 −20x + 25

hay   

 

2 5 ⩽x ⩽2

(5x −2)2

5x2 −4x + 1 −5 = (5x −10)2

5x2 −20x + 25 −5

Phương trình thứhai của hệsau khi biến đổi có thểviết lại thành

−1 5x2 −4x + 1 = −5 x2 −4x + 5,

tương đương với x2 −4x + 5 = 25x2 −20x + 5.

Tiếp tục thu gọn, ta được 24x2 −16x = 0, hay x = 0∨x = 2

3. So sánh với điều kiện 2

5 ⩽x ⩽2, ta tìm được nghiệm của hệlà x = 2

3. Do đó, phương trình f ′(x) = 0 chỉcó một nghiệm thực duy nhất là x = 2

3. Từđây, ta lập được bảng biến thiên của f(x) như sau

x −∞ 2 3 +∞

f ′(x) − 0 +

f(x)

+∞ & 2 √

5 % +∞

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

P = f(x) ⩾f(2) = 2 √

5, ∀x ∈R.

Mặt khác, dễdàng kiểm tra được đẳng thức xảy ra khi x = 2

3 và y = −2

3. Vì vậy, ta có thểđi đến kết luận cho bài toán là min P = 2 √

5.

http://onluyentoan.vn

Giải toán bất đẳng thức bằng cách dùng đạo hàm khửdần sốbiến 3

Ví dụ3. Cho các sốdương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 và a2 + b2 + c2 = 14. Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = 4a + b

c .

Lời giải. Từgiảthiết, ta có a + b = 6 −c, a2 + b2 = 14 −c2 và

ab = (a + b)2 −(a2 + b2)

2 = (6 −c)2 −(14 −c2)

2 = c2 −6c + 11.

Với kết quảvừa thu được này, ta thấy a, b là hai nghiệm của phương trình

X2 −(6 −c)X + c2 −6c + 11 = 0. (1)

Ngoài ra, theo đềbài thì a, b chắc chắn tồn tại nên ta phải có

∆= (6 −c)2 −4(c2 −6c + 11) = −3c2 + 12c −8 ⩾0,

tức là 6−2 √

3 3 ⩽c ⩽6+2 √

3 3 . Lúc này, ta tìm được các nghiệm của phương trình (1) là

X1 = 6 −c + √

−3c2 + 12c −8

2 , X2 = 6 −c − √

−3c2 + 12c −8

2 .

Và như thế, sẽcó hai trường hợp có thểxảy ra là a = X1, b = X2 và a = X2, b = X1. Thêm nữa, ta lại thấy rằng 4X2 + X1 ⩽4X1 + X2 (vì X1 ⩾X2) nên:

• Trong trường hợp tìm max P, ta chỉcần xét a = X1 và b = X2 là đủ.

• Còn trong trường hợp tìm min P thì ta chỉcần xét ngược lại a = X2 và b = X1.

(a) Tìm max P. Lúc này, theo lập luận ởtrên, ta có a = X1, b = X2 nên

P = 4 · 6−c+ √

−3c2+12c−8

2 + 6−c− √

−3c2+12c−8

2 c = 30 −5c + 3 √

−3c2 + 12c −8 2c .

Đặt t = 1

c thì ta có 3− √

3 4 ⩽t ⩽3+ √

3 4 (do 6−2 √

3 3 ⩽c ⩽6+2 √

3 3 ) và

P = 15

c −5

2 + 3

2

r

−3 + 12

c −8

c2 …