Bài tập có đáp án chi tiết về hệ phương trình của boxmath phần 1

http://boxmath.vn

50 HệPhương Trình của BoxMath

53 Giải hệphương trình:  

 2x2 + 4xy + 2y2 + 3x + 3y −2 = 0 (1)

x2 + y2 + 4xy + 2y = 0 (2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải

Ta có phương trình (1) ⇔2(x + y)2 + 3(x + y) −2 = 0 ⇔



 x + y = −2

x + y = 1

2 Với x + y = −2 ⇒x = −2 −y thay vào phương trình (2) ta được

(−2 −y)2 + y2 −4(2 + y)y + 2y = 0 ⇔2y2 + 2y −4 = 0 ⇔

" y = 1 ⇒x = −3

y = −2 ⇒x = 0

Với x + y = 1

2 ⇒x = 1

2 −y thay vào phương trình (2) ta được

1

2 −y 2 + y2 + 4 1

2 −y y + 2y = 0 ⇔−2y2 + 3y + 1

4 = 0 ⇔



 y = 3 + √

11 4 ⇒x = −1 − √

11 4

y = 3 − √

11 4 ⇒x = −1 + √

11 4

Vậy nghiệm của hệlà:(x; y) = (1; −3); (−2; 0);

3 + √

11 4 ; −1 − √

11 4

!

;

3 − √

11 4 ; −1 + √

11 4

!

54 Giải hệphương trình:  

 x4 −x3y + x2y2 −1 = 0 (1)

x3y −x2 + xy + 1 = 0 (2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Lấy phương trình (1) + (2) vếvới vếta được x4 −x2 + x2y2 + xy = 0

⇔x(x3 −x + xy2 + y) = 0

⇔

" x = 0(loai)

x3 −x + xy2 + y = 0(3)

Ta có: (2) ⇔xy(x2 + 1) = x2 −1

⇔x4 + x2 = x(x2 −1)

y

(3) ⇔x(x2 −1) = −y −xy2

⇔x(x2 −1)

y = −1 −xy

Do đó

x4 + x2 = −1 −xy ⇒y = −x4 −x2 −1

x (4)

Thế(4) vào phương trình (2) ta được:

x2(−x4 −x2 −1) −x2 −x4 −x2 −1 + 1 = 0 ⇔x6 + 2x4 + 3x2 = 0

boxmath.vn 1

http://boxmath.vn

⇔x2(x4 + 2x2 + 3) = 0 ⇔

" x = 0(loai)

x4 + 2x2 + 3 = 0(V N)

Kết luận: Vậy hệphương trình đã cho vô nghiệm

55 Giải hệphương trình:  

 2x2y −3y = −1

xy2 −3y2 = −2

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải

(I) ⇔

( (2x2 −3)y = −1

(x −3)y2 = −2

Nhận xét: y = 0 không phải nghiệm của hệ.Vậy Ta có    

  

2x2 −3 = −1

y

(x −3) = −2

y2

⇒2x2 −x = 2

y2 −1

y ⇒(x −1

y)(2x + 2

y −1) = 0

⇔





x −1

y = 0

2x + 2

y −1 = 0

Với x = 1

y thay vào phương trình thứ(2) ta được: y −3y2 + 2 = 0

⇔



 y = 1 ⇒x = 1

y = −2

3 ⇒x = −3

2

Với 2x + 2

y −1 = 0 ⇒x = 1

2 −1

y thay vào phương trình thứ(2) ta được: −5

2 y2 −y + 2 = 0

⇔



 y = −1 + √

21 5 ⇒x = 7 −2 √

21 10

y = −1 − √

21 5 ⇒x = 7 + 2 √

21 10

Kết luận:Vậy hệphương trình có 4 cặp nghiệm

(x; y) = (1; 1), −3

2 ; −2

3

,

−7 −2 √

21 10 ; −1 + √

21 5

!

,

7 + 2 √

21 10 ; −1 − √

21 5

!

56 Giải hệphương trình:  

 x3 −4xy2 + 8y3 = 1

2x4 + 8y4 = 2x + y

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

boxmath.vn 2

http://boxmath.vn

Lời giải Từhệphương trình trên nhân chéo 2 vếta được:

(2x + y)(x3 −4xy2 + 8y3) = 2x4 + 8y4

⇔x3y −8x2y2 + 12xy3 = 0 (1)

Với y = 0 ⇒x = 1 Với y ̸= 0

(1) ⇔ x

y

3 −8 x

y

2 + 12 x

y

= 0

⇔





x y = 2 ⇒x = 2y

x y = 6 ⇒x = 6y

x y = 0 ⇒x = 0 ⇒y = 0

Với x = 2y thay vào phương trình đầu ta được (2y)34 −8y3 + 8y3 = 1

⇔8y3 = 1

⇒y = 3 r

1 8 ⇒x = 1

Với x = 6y thay vào phương trình đầu ta được

(6y)3 −24y3 + 8y3 = 1

⇔200y3 = 1

⇒y = 3 r

1 200 ⇒x = 3 r

216 200

Kết luận:Vậy hệphương trình có 4 nghiệm (x; y) = (1; 0), (0; 0);

1; 3 r

1 8

!

;

3 r

216 200; 3 r

1 200

!

57 Giải hệphương trình:  

 2x2y + y3 = x6 + 2x4 (1)

(x + 2)√y + 1 = (x + 1)2 (2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải Điều kiện y ≥1 Do x = 0 không phải là nghiệm của hệnên

(1) ⇔ y

x

3 + 2y

x = x3 + 2x

Xét hàm f(t) = t3 + 2t ⇒f ′(t) = 3t2 + 2 ≥0 ⇒f ′(t) đồng biến trên R

⇒y

x = x ⇔y = x2

⇒(x + 2) √

x2 + 1 = x2 + 2x + 1

⇔(x + 2)( √

x2 + 1 −x) = 1

⇔x + 2 = √

x2 + 1 + x

⇔x2 + 1 = 4

⇔

" x = √

3

x = − √

3

boxmath.vn 3