Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức Đoàn Trí Dũng vs Hà Hữu Hải

I. Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):

 Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:

a b ab a b

a b ab a b

2 2 , , 0

, , 2

                

. Đẳng thức xảy ra khi a b  .

 Bất đẳng thức Cauchy cho ba số:

a b c abc a b c

3

3 3 , , , 0

, , , 0 3

                  

. Đẳng thức xảy ra khi a b c  

 Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho n số không âm:

n n n n n n n n

a a a n a a a a a a

a a a a a a a a a n

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

... ... , , ,... 0

... ... , , ,... 0

                      

. Đẳng thức xảy ra khi n a a ... a 1 2   

II. Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):

 a b ab, a,b 2 2 2     . Đẳng thức xảy ra khi a b  .

 a b ab, a,b 2 2 2     . Đẳng thức xảy ra khi a b  .

 a b ab

2

2       

, a,b   . Đẳng thức xảy ra khi a b  .

 a b c abc, a,b,c 3 3 3 3 0      . Đẳng thức xảy ra khi a b c  .

 a b c abc

3

3        

, a,b,c 0   . Đẳng thức xảy ra khi a b c  .

      ab bc ca a b c a b c a b c 2 2 2 2 3 3 , , ,          . Đẳng thức xảy ra khi a b c  .

   a b ab a b a b 3 3 , , 0      . Đẳng thức xảy ra khi a b  .

 a b a b a b b a

2 2 , , 0      . Đẳng thức xảy ra khi a b  .

IV. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa về biến cần tìm:

Bài 1: Cho các số thực ,x y thỏa mãn x y 0   . Tìm giá trị nhỏ nhất của:   P x y x y 3 3 2 3     .

Bài 2: Cho các số thực ,x y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

  P x y xy x y 2 2 1 8 8    

.

Bài 3: Cho các số thực dương x y , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

  P x y x y x y 3 3 3 3 1 1

9    

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI

Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải

BÀI 6: AM – GM Dồn biến

Bài 4: Cho , , a b c thỏa mãn c a c b c 0, ,   . Tìm giá trị lớn nhất của:     2 2 2      P c a c c b c a b

Bài 5: Cho các số thực a b c , , 0  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2      ab bc ca P a b c c a b

Bài 6: Cho a b c , , độ dài 3 cạnh một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

      2 2 2 1 1         P a b c abc a b c b c a c a b

.

Bài 7: Cho các số thực dương x y z , , thỏa mãn xyz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4 3 3       P x y y z z x xy yz zx

Bài 8: Cho các số thực a b c , , dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 2 4 4             a bc b ca c ab P a b c b c c a a b

Bài 9: Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn 3  a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

  3

2 2 2 1 1 1         

a b c P a b c b c a

.

Bài 10: Cho các số thực dương a b c , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

3 3 3

2 2 2 2 2 2         

a b c P a b c a b b c c a

Bài 11: Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn điều kiện 1  abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

3

2 2 2 1 1 1 54 1 1 1

           

a b c a b c P b c a

Bài 12: Cho các số thực dương a b c , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 3 3 3 3 3 3 2         

a b c P a b c b ab c bc a ca

Bài 13: Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn abc 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

2 1 1 1 1 1 1 6

           

a b c a b c P b c a

ĐÁP ÁN

Bài 1: Cho các số thực ,x y thỏa mãn x y 0   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   P x y x y 3 3 2 3     .

Phân tích

 Biến cần đưa về: x y  .

 Chiều đánh giá cần có: P .

 Chiều cần đánh giá cần tìm:   x y f x y 3 3    .