Bài tập tự luận chuyên đề vectơ Trần Đình Thiên

Đ/C: Đông Thạnh-Hóc Môn-TPHCM Trang 1 CHƯƠNG I : VECTƠ

I. VECTƠ 1. Các định nghĩa

 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .  Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .

 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 .  Hai vectơ đgl cùng phƣơng nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.  Hai vectơ cùng phương có thể cùng hƣớng hoặc ngƣợc hƣớng.  Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b , ,... để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. + Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là

hai véctơ AB , AC cùng phương. 2. Các phép toán trên vectơ a) Tổng của hai vectơ

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC   .

 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC   .

 Tính chất: a b b a    ;     a b c a b c      ; a a 0   b) Hiệu của hai vectơ  Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a b 0   . Kí hiệu vectơ đối của a là a .

 Vectơ đối của 0 là 0 .

   a b a b    .

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB   . c) Tích của một vectơ với một số  Cho vectơ a và số k  R. ka là một vectơ được xác định như sau: + ka cùng hướng với a nếu k  0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.

+ ka k a .  .

 Tính chất:   k a b ka kb    ; k l a ka la ( )    ;   k la kl a ( ) 

ka 0   k = 0 hoặc a 0  .

 Điều kiện để hai vectơ cùng phƣơng:   a vaø b a cuøng phöông k R b ka 0 :   

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: AB kAC  .

 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng: Cho hai vectơ không cùng phương a b , và x tuỳ ý.

Khi đó ! m, n  R: x ma nb   . Chú ý:  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA MB 0    OA OB OM 2   (O tuỳ ý).  Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ABC  GA GB GC 0     OA OB OC OG 3    (O tuỳ ý).

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

Đ/C: Đông Thạnh-Hóc Môn-TPHCM Trang 2

Baøi 2. Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Chứng minh: BC C A A B      .

b) Tìm các vectơ bằng B C C A ,  .

Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh:

MP QN MQ PN ;   .

Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:

a) AC BA AD AB AD AC ;     .

b) Nếu AB AD CB CD    thì ABCD là hình chữ nhật.

Baøi 5. Cho hai véc tơ a b , . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a b a b    .

Baøi 6. Cho ABC đều cạnh a. Tính AB AC AB AC ;   .

Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AC AD   .

Baøi 8. Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA HB HC , , .

Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB AD  , AB AC  , AB AD  .

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. – Tính chất của các hình. Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:

a) AB DC AC DB    b) AD BE CF AE BF CD      . Baøi 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:

a) Nếu AB CD  thì AC BD  b) AC BD AD BC IJ 2     .

c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA GB GC GD 0     . d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm. Baøi 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng …