Đề thi học kì 2 Toán 10 năm 2018 2019 trường Phổ thông Năng khiếu TP HCM

STAR-EDUCATION 16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒCHÍ MINH TRƯỜNG PHỔTHÔNG NĂNG KHIẾU

ĐỀTHI HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN - Lớp 10 Thời gian: 90 phút - Không kểthời gian giao đề.

——————

Bài 1. (2đ) Giải các bất phương trình:

a) 1 x2 −5x + 4 − 1 x −4 ≤0

b) −x2 + x −1 √x −3 −x > 0

Bài 2. (1,5đ)

a) Tìm m đểhệbất phương trình 2m2x −16 < −x + m2

4x + 1 > −x + 6 vô nghiệm.

b) Tìm m đểhàm sốy = 3 p

(m + 1)x2 + 4mx + m + 1 xác định ∀x ∈R

Bài 3. (1,5đ)

a) Chứng minh 2 cos a = √

2 sin a + π

4

+ √

2 cos a + π

4

.

b) Chứng minh 4 sin x · cos3 x −cos x · sin3 x +2 cos 5x·sin x+sin π

2 −6x ≤ √

2.

Bài 4. (1đ) Tìm m đểgiá trịlớn nhất của hàm sốy = x2 −4x + 2m −3 trên [−1; 3] bằng 7.

Bài 5. (3đ) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = 5.

a) Tìm tọa độgiao điểm của đường tròn (C) với trục Ox.

b) Tính khoảng cách từI đến đường thẳng AB, biết A(657; 12), B(625; 36).

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 8x + 6y + 1 = 0.

Bài 6. (1đ) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho Elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225.

a) Tính diện tích hình chữnhật cơ sởcủa (E)

b) Có bao nhiêu điểm M ∈(E) thỏa 1 MF1 + 1 MF2 = 8 F1F2 .

– HẾT –

www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730 STAR TEAM

STAR-EDUCATION 16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10

star sducation star team đềthi học kì 2 ptnk Năm học 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN 10

——————

LỜI GIẢI

Bài 1. a) 1 x2 −5x + 4 − 1 x −4 ≤0

⇔ 1 (x −4)(x −1) − 1 x −4 ≤0

⇔ 2 −x (x −4)(x −1) ≤0

Bảng xét dấu:

x

f(x)

1 2 4

+ − 0 + −

Vậy S = (1; 2] ∪(4; +∞)

b) −x2 + x −1 √x −3 −x > 0 (1)

Điều kiện: x ≥3

Ta có: −x2 + x −1 = − x −1

2

2 −3

4 < 0, ∀x

Từđó suy ra:

(1) ⇔√x −3 −x < 0 ⇔√x −3 < x (x ≥3) ⇔x −3 < x2

⇔x2 −x + 3 > 0 ⇔x ∈R

Vậy S = [3; +∞)

Bài 2. a) 2m2x −16 < −x + m2

4x + 1 > −x + 6

⇔ (2m2 + 1) < m2 + 16 5x > 5

⇔

 

 x < m2 + 16

2m2 + 1 x > 1

Hệphương trình vô nghiệm khi và chỉkhi:

m2 + 16 2m2 + 1 ≤1 ⇔m2 + 16 ≤2m2 + 1 ⇔m2 ≥15 ⇔ m ≥ √

15 m ≤− √

15

b) y = 3 p

(m + 1)x2 + 4mx + m + 1

www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730 STAR TEAM

STAR-EDUCATION 16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10

Hàm sốxác định ∀x ∈R ⇔(m + 1)x2 + 4mx + m + 1 > 0, ∀x ∈R

Đặt f(x) = (m + 1)x2 + 4mx + m + 1

• Với m + 1 = 0 ⇔m = −1

Khi đó f(x) = −4x > 0, ∀x ∈R (vô lý).

⇒m = −1 không thỏa yêu cầu đềbài.

• Với m + 1 ̸= 0 ⇔m ̸= −1

Khi đó f(x) > 0, ∀x ∈R khi và chỉkhi: m + 1 > 0 ∆′ < 0 ⇔ m > −1 3m2 −2m −1 < 0

⇔

( m > −1

−1

3 < m < 1 ⇔−1

3 < m < 1

Vậy m ∈ −1

3; 1 thì hàm sốtrên xác định ∀x ∈R.

Bài 3. a) Ta có: √

2 sin a + π

4

+ √

2 cos a + π

4

= √

2 sin a · cos π

4 + cos a · sin π

4

+ √

2 cos a · cos π

4 −sin a sin π

4

= sin a + cos a + cos a −sin a = 2 cos a

b) 4 sin x · cos3 x −cos x · sin3 x + 2 cos 5x · sin x + sin π

2 −6x

= 4 sin x cos x cos3 x −sin2 x + 2 cos 5x · sin x + sin π

2 −6x

= 2 sin 2x · cos 2x + sin 6x −sin 4x + sin π

2 −6x

= sin 6x + sin π

2 −6x

= 2 sin π

4 · cos 6x −π

4

= √

2 cos 6x −π

4

≤ √

2 (đpcm)

Bài 4. y = x2 −4x + 2m −3

Hoành độđỉnh của đồthịhàm số: x = −b

2a = 2

f(−1) = 2m + 2; f(3) = 2m −6; f(2) = 2m −7 Bảng biến thiên

Hàm sốđạt giá trịlớn nhất trên [−1; 3] là 7 khi và chỉkhi 2m + 2 = 7 ⇔m = 5

2

www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730 STAR TEAM