Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnhmôn Toán lớp 10 năm học 2016 2017 sở Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 05/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số 2 2 2( 1) 1 (1) y x m x m     , (m là tham số).

1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt , A B sao cho

tam giác KAB vuông tại K , trong đó (2; 2) K  .

2) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6. Câu II (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2

2

2 4

1 1 3

x y y x xy

x x xy y

        

2) Giải phương trình 2 2 ( 3 1)( 4 3) 2 x x x x x x       

3) Giải bất phương trình 2 2 2 ( 3 2)( 12 32) 4 x x x x x     

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm cạnh CD ; N là điểm thuộc cạnh AD

sao cho 1 3 AN AD  . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN , đường thẳng AG cắt BC tại K . Tính tỉ

số BK BC .

2) Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh , , BC a CA b AB c    . Chứng

minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn 2 2 2 2 a b c   và tan tan 2tan A C B   thì tam giác ABC đều.

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC  cân tại C và có diện tích bằng 10. Đường thẳng

AB có phương trình 2 0 x y   . Điểm   4;2 I là trung điểm cạnh AB , điểm 9 4; 2 M       thuộc đường

thẳng BC . Tìm tọa độ các điểm , , A B C biết điểm B có tung độ là số nguyên.

Câu IV (1,0 điểm)

Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.

Câu V (1,0 điểm)

Cho các số thực dương , , a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 ab bc ca P a ab bc b bc ca c ca ab         

........................................ Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: ............................. Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ....................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Câu Nội dung Điểm

Câu I.1 1,0 đ Cho hàm số 2 2 2( 1) 1 (1) y x m x m     (m là tham số). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt , A B sao cho tam giác KAB vuông tại K , trong đó (2; 2) K  .

Phương trình hoành độ giao điểm

2 2 2 2 2( 1) 1 0 2( 1) 1 0 x m x m x m x m           (2) 0,25

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt , A B khi và chỉ khi phương trình

(2) có hai nghiệm phân biệt 2 2 ' 0 ( 1) 1 0 2 2 0 1 m m m m          .

0,25

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là 1 2 , x x .

Tọa độ các giao điểm , A B là 1 2 ( ;0), ( ;0) A x B x ; 1 2 ( 2;2), ( 2;2) KA x KB x       .

0,25

1 2 1 2 1 2 . 0 ( 2)( 2) 4 0 2( ) 8 0 KA KB KA KB x x x x x x              

2 2 1 1 2.2( 1) 8 0 4 3 0 3 m m m m m m               .

Kết hợp điều kiện 1 m , ta được 1 m , 3 m .

0,25

Câu I.2 1,0 đ Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

2 2 2 2 2 2 2( 1) 1 2( 1) ( 1) ( 1) 1 y x m x m y x m x m m m             

2 ( 1) 2 2 y x m m      .

0,25

2 2 y m    . 0,25

Dấu " "  xảy ra khi 1 x m  . Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2 m  . 0,25

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2 2 6 2 m m     . 0,25

CâuII.1 1,0 đ Giải hệ phương trình

2

2

2 4 (1)

1 1 3 (2)

x y y x xy

x x xy y

        

Điều kiện 0, 0 x y …