Đề thi giao lưu học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2019-2020 THPT Bá Thước có chi tiết

1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH HÓA TRƯỜNG THPT BÁ THƯỚC

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: Toán - Lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề )

Ngày thi: 28 tháng 12 năm 2019 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I (4.0 điểm).

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P của hàm số 2 3 y ax bx = + −, biết rằng ( ) P có

đỉnh ( ) 2;1 I .

2. Giải bất phương trình: ( ) ( )

2 1 2 6 7 7 12 . x x x x x x + + + + + ≥ + +

Câu II (4.0 điểm).

1. Giải phương trình:

( )

2 2 3sin . 1 cos 4cos .sin 3 2 0 . 2sin 1

x x x x

x

+ − − = −

2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 6 1 2 4 2 2 1 0 ; 2 1 3 1 1

y x y x x x y x x x y x y y

 − − + + + + =  ∈  + + + − −= + −+ −  .

Câu III (4.0 điểm). 1. Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz x z y + + = . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 4 3 1 1 1 ( 1) 1

z z P x y z z z = − − + + + + + +

.

2. Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn điều kiện 1 2 u = và 2 1 2 3 ... , 1,2,... n n u u u u n u n + + + + = ∀=

Tìm công thức số hạng tổng quát n u của dãy số ( ) n u . Câu IV (4.0 điểm). 1. Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ. Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm

của AB . Đường thẳng : 2 7 0 CM x y − + = và 4 7 ; 3 2 K      

là trọng tâm tam giác ACM . Đường

thẳng AB đi qua điểm ( ) 3; 1 D − . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M có hoành độ nguyên và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng 6 26 0. x y + − = Câu V (4.0 điểm).

1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3a , 3 SA SD a = = , 3 3 SB SC a = = . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD , P là điểm thuộc cạnh AB sao cho

2 AP a = . Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) MNP . 2. Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm tam giác BCD và M là điểm di động bên trong tam giác BCD sao cho khi M khác G thì MG không song song với CD . Đường thẳng qua

M và song song với GA cắt các mặt phẳng ( ) ABC , ( ) ACD , ( ) ABD lần lượt tại , , P Q R. Tìm giá trị lớn nhất của tích . . MP MQ MR. -------------------- Hết --------------------

2

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Ý Nội dung Điể

m

I

1

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P của hàm số 2 3 y ax bx = + −, biết rằng ( ) P có đỉnh ( ) 2;1 I . 2,0

Từ giả thiết ta có: 4 0 1 2 2 4 2 4 4 4 2 3 1

b a b a a a b b a b

 + = = − − =    ⇔ ⇔    + = =    + − = 

Vậy ( ) P : 2 4 3 y x x = − + −

0,5

Bảng biến thiên:

x −∞ 2 +∞

y

−∞

1

−∞

0,5

Đồ thị hàm số có đỉnh ( ) 2;1 I , trục đối xứng 2 x =

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại ( ) 0; 3 − và cắt trục hoành tại ( ) ( ) 1;0 , 3;0 0,5

Đồ thị hàm số như hình vẽ

0,5

2 Giải bất phương trình: ( ) ( )

2 1 2 6 7 7 12 . x x x x x x + + + + + ≥ + + 2,0

Đk: 2. x ≥−

BPT ( )( ) ( )( ) 2 1 2 2 6 7 3 2 8 x x x x x x ⇔ + + − + + + − ≥ + −

0,5

( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 6 2 4 2 2 7 3 x x x x x x x x − − ⇔ + + + ≥ − + + + + +

( ) ( ) 1 6 2 4 0 2 2 7 3 x x x x x x + +   ⇔ − + − + ≥   + + + +  

0,5

Ta có ( ) 1 6 4 2 2 7 3 x x x x x + + + − + + + + +

0,5