Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2020 - 2021 tỉnh Bình Dương chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - VÒNG 1

DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN – Khối: 11

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 17/05/2020

Câu 1. (4 điểm)

a) Giải phương trình ( 4) (3 )( 13) 27 x x x x      .

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 2 1 xy xz  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 4 5 yz zx xy P x y z    .

Câu 2. (4 điểm)

Với 4 số thực dương a, b, c, d thỏa mãn 1 7 a b c   ta xét hai đa thức 3 2 ( ) P x x ax bx c     và

2 ( ) 2 Q x x x d    . Giả sử ( ) 0 P x  có 3 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Chứng minh rằng tích 3 nghiệm của ( ) P x không vượt quá 1  và ( ( )) 0 P Q x  có tối đa 4 nghiệm thực phân biệt.

Câu 3. (4 điểm)

Cho dãy số   na xác định như sau:

1 2

2 1 1 1 1

1 1, 2 ( 1) ( 1) , n n n n n n

a a

n n a a na a n a a n N     

          

.

a) Tính n u theo n.

b) Chứng minh rằng: 2 1 n n a n   , n N   .

Câu 4. (4 điểm)

Có 5 con xúc xắc được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4, 5. Gieo đồng thời cả 5 xúc xắc đó. Tính xác suất để tổng của 5 số trên mặt xuất hiện của 5 xúc xắc bằng 14.

Câu 5. (4 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O , AB AC  , M là trung điểm của cạnh BC. Đường phân giác trong

của BAC  cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn  O tại điểm P (khác A). Gọi E là điểm đối xứng với D qua

M ; trên đường thẳng AO và đường thẳng AD lần lượt lấy các điểm H, F sao cho các đường thẳng HD, FE cùng vuông góc với đường thẳng BC.

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, H, C, F cùng nằm trên một đường tròn  .

b) Gọi T là giao điểm khác F của AD và  . Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác MTP cắt đường thẳng TH

tại điểm Q (khác T). Chứng minh rằng đường thẳng QA tiếp xúc với đường tròn  O .

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .