Đề thi olympic môn Toán lớp 11 năm 2019 - 2020 THPT Lý Thánh Tông có đáp án

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LÝ THÁNH TÔNG

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 11

NĂM 2019-2020

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1.(2,0 điểm).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2019 cos sin 3    x x y . Câu 2.(2,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình   2 cos 3 sin 1     m x x m có nghiệm. ( m là tham số) . Câu 3.(4,0 điểm).

a) Giải phương trình 0 5 cos 2 2 cos 3    x x

b) Tìm nghiệm của phương trình 0 4 2 sin .1 2           x x trên khoảng       2 3 ; 2   ?

Câu 4 .(2,0 điểm).

Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ các chữ số lấy trong tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau ? Câu 5. (3,0 điểm).

a)Trong một chiếc hộp đồ chơi có 25 quả bóng nhỏ được đánh số từ 1 đến 25. Một em bé khi chơi đã lấy ngẫu nhiên ra 2 quả. Tính xác suất để em bé đó chọn được 2 quả có tổng số ghi trên 2 quả đó là một số lẻ ?

b) Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Vận động viên đó bắn hai viên một cách độc lập. Tính xác suất để vận động viên đó bắn trúng mục tiêu đúng một viên? Câu 6. (2,0 điểm).

Với n là số nguyên dương thỏa mãn 10 1 2 1 0 2 ....        n n n n n n n C C C C C . Tìm số hạng

không chứa x trong khai triển của biểu thức

3 2 2 n x x       ?

Câu 7. (4,0điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;5) và đường tròn     9 4 3 : 2 2     y x C

a)Tìm ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo véctơ v = (-2;1) b) Tìm phương trình đường (C’) sao cho (C) là ảnh của (C’) qua phép vị tự tâm O với tỷ số vị tự bằng -2? Câu 8.(1,0 điểm).

Cho hình vuông ABCD ( theo chiều dương) . Điểm I là tâm của hình vuông . Gọi H là trung điểm AD, K là trung điểm AH, L là trung điểm AI. Tìm ảnh của hình thang IHKL qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm I góc quay - 900 và phép vị tự tâm D với tỷ số bằng 2.

-----------------HẾT-------------------

Họ và tên………………………………………………………..SBD……………………..

ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM CHẤM

CÂU NỘI DUNG CHẤM THANG

ĐIỂM

Câu 1. (2,0 điểm).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2019 cos sin 3    x x y .

    2 cos sin 3 2 1 3 cos sin 3 1 3 2 2 2 2             

 

x x x x

R x

0,75

2021 2019 cos sin 3 2017      x x 0,75

2021 max  y khi Z k k x    , 2 3 2   0,5

Câu 2. (2,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình   2 cos 3 sin 1     m x x m có nghiệm. ( m là tham số) . Phương trình có nghiệm khi       2 2 2 2 3 1      m m 0,5 6 6     m 0,75 1  m 0,75

Câu 3. (4,0 điểm).

a) Giải phương trình 0 5 cos 2 2 cos 3    x x

0 8 cos 2 cos 6 0 5 cos 2 2 cos 3 2        x x x x 0,75

   





 

  VN x

x

3 4 cos

1 cos

0,75

Z k k x x     , 2 1 cos  0,5

b) Tìm nghiệm của phương trình 0 4 2 sin .1 2           x x trên khoảng       2 3 ; 2  

Đk: 2 1  x 0,25

  





     

          0 4 2 sin

0 1 2 0 4 2 sin .1 2   x

x x x 0,25

           2 3 ; 2 2 1 0 1 2   x x 0,5

2 8 4 2 0 4 2 sin      k x k x x                0,5

Với x thuộc khoảng       2 3 ; 2   tìm được   3,2,1,0  k tương ứng các nghiệm

   8 11 ; 8 7 ; 8 3 ; 8     x

0,25

   8 11 ; 8 7 ; 8 3 ; 2 1    S 0,25

Câu 4 . (2,0 điểm).

Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ các chữ số lấy trong tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt ?

Số cần tìm có dạng 4 3 2 1 a a a a 0,25

0 1  a Có 8 lựa chọn 0,25

2 a có 8 lựa chọn 0,25

3a có 7 lựa chọn 0,25

4 a có 6 lựa chọn 0,25 Theo quy tắc nhân có 8.8.7.6= 2688 số 0,75