Lý thuyết và bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

CHƯƠNG1 HÀM SỐLƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trịlượng giác

cos

sin

O

+

A(1;0) A′(−1;0)

B(0;1)

B′(0;−1)

(I) (II)

(III) (IV)

1

x

y

α O

M H

K

•sinα = OH

•cosα = OK

2

Góc phần tư Giá trịlượng giác I II III IV sinα + + − − cosα + − − + tanα + − + − cotα + − + −

2 Công thức lượng giác cơ bản

sin2 x+cos2 x = 1 1+tan2 x = 1 cos2 x 1+cot2 x = 1

sin2 x

tanxcotx = 1

3 Cung góc liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém π cos(−α) = cosα cos(π−α) = −cosα cos(α+π) = −cosα sin(−α) = −sinα sin(π−α) = sinα sin(α+π) = −sinα tan(−α) = −tanα tan(π−α) = −tanα tan(α+π) = tanα cot(−α) = −cotα cot(π−α) = −cotα cot(α+π) = cotα

1

2 CHƯƠNG 1. HÀM SỐLƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Cung phụnhau Cung hơn kém π

2

cos ³π

2 −α ´ = sinα cos ³π

2 +α ´ = −sinα

sin ³π

2 −α ´ = cosα sin ³π

2 +α ´ = cosα

tan ³π

2 −α ´ = cotα tan ³π

2 +α ´ = −cotα

cot ³π

2 −α ´ = tanα cot ³π

2 +α ´ = −tanα

4 Công thức cộng

sin(a+ b) = sinacosb +sinbcosa cos(a+ b) = cosacosb −sinasinb

sin(a−b) = sinacosb −sinbcosa cos(a−b) = cosacosb +sinasinb

tan(a+ b) = tana+tanb

1−tanatanb tan(a−b) = tana−tanb

1+tanatanb

tan ³π

4 + x ´ = 1+tanx

1−tanx tan ³π

4 −x ´ = 1−tanx

1+tanx

5 Công thức nhân đôi, công thức hạbậc

Công thức nhân đôi Công thức hạbậc

sin2α = 2sinαcosα sin2 α = 1−cos2α

2

cos2α = cos2 α−sin2 α = 2cos2 α−1 = 1−2sin2 α cos2 α = 1+cos2α

2

tan2α = 2tanα

1−tan2 α

tan2 α = 1−cos2α

1+cos2α

cot2α = cot2 α−1

2cotα cot2 α = 1+cos2α

1−cos2α

Công thức nhân 3 " sin3α = 3sinα−4sin3 α

cos3α = 4cos3 α−3cosα

tan3α = 3tanα−tan3 α

1−3tan2 α

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cosa+cosb = 2cos a+ b

2 cos a−b

2 cosa−cosb = −2sin a+ b

2 sin a−b

2

sina+sinb = 2sin a+ b

2 cos a−b

2 sina−sinb = 2cos a+ b

2 sin a−b

2

tana+tanb = sin(a+ b)

cosacosb tana−tanb = sin(a−b)

cosacosb

cota+cotb = sin(a+ b)

sinasinb cota−cotb = sin(b −a)

sinasinb

1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM 3

Đặc biệt

sinx+cosx = p

2sin ³ x+ π

4

´ = p

2cos ³ x−π

4

´

sinx−cosx = p

2sin ³ x−π

4

´ = − p

2cos ³ x+ π

4

´

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa·cosb = 1

2 [cos(a−b)+cos(a+ b)]

sina·sinb = 1

2 [cos(a−b)−cos(a+ b)]

sina·cosb = 1

2 [sin(a−b)+sin(a+ b)]

Bảng lượng giác của một sốgóc đặc biệt

độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 360◦

rad 0 π 6

π 4

π 3

π 2

2π

3

3π

4

5π

6 π 2π

sinα 0 1 2

p

2 2

p

3 2 1

p

3 2

p

2 2

1 2 0 0

cosα 1

p

3 2

p

2 2

1 2 0 −1

2 −

p

2 2 −

p

3 2 −1 1

tanα 0

p

3 3 1

p

3 kxđ − p

3 −1 −

p

3 3 0 0

cotα kxđ

p

3 1

p

3 3 0 −

p

3 3 −1 − p

3 kxđ kxđ

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽcó tọa độ M(cosα,sinα)

4 CHƯƠNG 1. HÀM SỐLƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x

y

0◦

30◦

60◦ 90◦ 120◦

150◦

180◦

210◦

240◦

270◦ 300◦

330◦

360◦

π 6

π 4

π 3

π 2 2π

3 3π

4 5π

6

π

7π

6

5π

4 4π

3 3π

2

5π

3

7π

4

11π

6

2π

³p

3 2 , 1

2

´

³p

2 2 , p

2 2

´

³ 1 2, p

3 2

´

³ − p

3 2 , 1

2

´

³ − p

2 2 , p

2 2

´

³ −1

2, p

3 2

´

³ − p

3 2 ,−1

2

´

³ − p

2 2 ,− p

2 2

´

³ −1

2,− p

3 2

´

³p

3 2 ,−1

2

´

³p

2 2 ,− p

2 2

´

³ 1 2,− p

3 2

´

(−1,0) (1,0)

(0,−1)

(0,1)

BÀI 2. HÀM SỐLƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính chất của hàm số

a) Hàm sốchẵn, hàm sốlẻ

Hàm sốy = f (x) có tập xác định là D gọi là hàm sốchẵn nếu với mọi x ∈D thì −x ∈D và f (−x) = f (x). Đồthịhàm sốchẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Hàm sốy = f (x) có tập xác định là D gọi là hàm sốlẻnếu với mọi x ∈D thì −x ∈D và f (−x) = −f (x). Đồthịhàm sốlẻnhận gốc tọa độO làm tâm đối xứng.

b) Hàm sốđơn điệu Cho hàm sốy = f (x) xác định trên tập (a;b) ⊂R.

Hàm sốy = f (x) gọi là đồng biến trên (a;b) nếu ∀x1,x2 ∈(a;b) có x1 < x2 ⇒f (x1) < f (x2). Hàm sốy = f (x) gọi là nghịch biến trên (a;b) nếu ∀x1,x2 ∈(a;b) có x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

c) Hàm sốtuần hoàn

Hàm sốy = f (x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm sốtuần hoàn nếu có sốT ̸= 0 …