Bài tập về nhị thức niu tơn môn toán trong đề thi đại học của phạm huy hoạt

TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON

 Giới thiệu: Các bài toán về “Nhị thức Newton” gần đây rất hay gặp trong các đề thi khối A (ĐH-CĐ) ; Đề ra không khó, chỉ cần nắm vững công thức/định lí là giải được. Vì HS thường it tiếp cận với dạng đề này nên lúng túng giải mất nhiều thời gian. Tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại phần kiến thức liên quan và sưu tầm một loạt đề toán thi ĐH có giải bằng ứng dụng “Nhị thức Newton” để các bạn tham khảo. Nội dung chính trong tài liệu là của bạn Nguyễn Trung Hiếu, NBS chỉ sắp xếp lai, các công thức, các ký hiệu toán học đều biên soạn bằng “latex”- Từng phần, từng bài toán có đặt trong “khung” rất tiện cho người sử dụng khi cần sao trích, biên soạn bài giảng cho HS.

A.- Phần LÍ THUYẾT cần nắm vững:

1/.Các hằng đẳng thức liên quan

( )

( )

( )

( )

( )

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1

2

3 3

4 6 4

...

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

+ =

+ = +

+ = + +

+ = + + +

+ = + + + +

2.-Nhị thức Newton( Niu-tơn)

a/.Định lí:

( )

0 1 1 1 1

0 ...

n n n n n n n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C ab C b C a b − − − −

= + = + + + + = ∑

Hệ quả:

*( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1

k n n n n k k n k k n k k n n k k a b a b C a b C a b − −

= = − = + − = − = −     ∑ ∑

*( )

0 1

0 1 . . ... .

n n k k n n n n n n k x C x C C x C x

= + = = + + + ∑

b/.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn ( )

n a b + :

1

TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-Số các số hạng của công thức ( )

n a b + là n+1

-Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n

-Số hạng tổng quát của nhị thức là: 1

k n k k k n T C a b − + =

(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ( )

n a b + ) -Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.

1 0 2 ... n n n n n n C C C − = + + +

( ) 0 1 0 ... 1

n n n n n C C C = − + + −

-Tam giác pascal:

Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng

n k

0 1 2 3 4 5 ....

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó.

Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi

1 1 1 k k k n n n C C C − − − = + (Với 1 < k < n)

3/.Một sô công thức khai triển hay sử dụng:

2

TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• ( )

1 0

0 2 1 1 ...

n n n k n n n n n n k

C C C C −

= = + = = + + + ∑

• ( ) ( ) ( ) 0 1

0 0 1 1 1 ... 1

n n k n k n n n n n k

C C C C

= = − = − = − + + − ∑

• ( )

0 1 1 0

0 1 ...

n n k n k n n n n n n n k x C x C x C x C x − −

= + = = + + + ∑

• ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1

0 1 1 ... 1

n n n n k k n n n n n n k x C x C x C x C x

= − = − = − + + − ∑

• ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0

0 1 1 ... 1

n n k n k n k n n n n n n n k x C x C x C x C x − −

= − = − = − + + − ∑

4/.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton.

a/.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có

1

n

i n i

C

=∑ với i là số tự

nhiên liên tiếp.

b. Trong biểu thức có ( )

1

1

n

i n i

i i C

=

− ∑ thì ta dùng đạo hàm ( ) i∈¥

• Trong biểu thức có ( )

1

n

i n i

i k C

=

+ ∑ thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm

• Trong biểu thức có

1

n

k i n i

a C

=∑ thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp.

• Trong biểu thức có

1

1

1

n

i n i

C i = − ∑ thì ta lấy tích phân xác định trên [ ] ;a b thích

hợp. • Nếu bài toán cho khai triển

( ) ( ) ( )

( )

1 1

i n n n n i a n i ib a b i a b i n n i i x x C x x C x − −+

= = + = = ∑ ∑ thì hệ số của xm là Ci

n sap

cho phương trình ( ) a n i …