Bài tập có đáp án chi tiết về phương trình lượng giác không mẫu mực môn toán lớp 12

CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu A 0 B 0 A B 0 ≥ ∧ ≥ ⎧ ⎨ + = ⎩

thì A = B = 0

Bài 156 Giải phương trình: 2 2 4 cos x 3tg x 4 3 cos x 2 3tgx 4 0 (*) + − + + =

Ta có:

( ) ( ) ⇔ − + +

⎧ = ⎪⎪ ⇔⎨ ⎪ = − ⎪⎩ π ⎧ = ± + π ∈ ⎪⎪ ⇔⎨ ⎪ = − ⎪⎩ π ⇔ = − + π ∈

2 2 (*) 2 cos x 3 3tgx 1 0

3 cos x 2 1 tgx 3

x k2 , k 6 1 tgx 3

x k2 , k 6

=

Bài 157 Giải phương trình: ( ) 2 8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 * + − + =

Ta có: ( ) ( ) ⇔ + + + − * 4 cos 4x 1 cos 4x 1 1 cos 3x 0 = ( )

( )

⇔ + + + −

⇔ + + − =

⎧ ⎧ = − = − ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ = = π ∈ ⎩ ⎩

2

2 4 cos 4x 4 cos 4x 1 1 cos 3x 0

2 cos 4x 1 1 cos 3x 0

1 1 cos 4x cos 4x 2 2 cos 3x 1 3x k2 , k

=

⎧ = − ⎪⎪ ⇔⎨ π ⎪ = ∈ ⎪⎩

1 cos 4x 2 k2 x , k (có 3 đầu ngọn cung) 3

⎧ = − ⎪⎪ ⇔⎨ π π ⎪ = − π = π = + π ∈ ⎪⎩ π ⇔ = ± + π ∈

1 cos 4x 2 2 2 x +m2 hay x m2 hay x m2 , m 3 3 2 x m2 , m 3

(ta nhận = ± k 1 và loại k = 0 ) Bài 158 Giải phương trình:

( ) ( )

2 2 3 3 sin 3x sin x cos3xsin x sin 3x cos x sin xsin 3x * 3sin 4x + + = 2

Ta có: 3 3 cos3x.sin 3x sin 3x.cos x + ( ) ( )

( )

= − + −

= − + = −

= =

3 3 3 3

3 3 2 4 cos x 3cos x sin x 3sin x 4 sin x cos x

3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x

3 3 sin 2x.cos 2x sin 4x 2 4

2

( )

( )

⇔ + = ≠

⎛ ⎞ ⇔ − − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⇔ − + − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2 2 2

2 2 4 2

2 2 2 2

1 Vậy: * sin x sin 3x sin x sin 3x và sin 4x 0 4

1 1 1 sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 và sin 4x 0 2 4 4

1 1 sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 và sin 4x 0 2 4

≠

≠

⎛ ⎞ ⇔ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≠ ⎧ ⎪⎪ ⇔ = ⎨ ⎪ = ∨ = ⎪⎩

2 2 2

2

1 1 sin 3x sin x sin 6x 0 và sin 4x 0 2 16

sin 4x 0 1 sin 3x sin x 2 sin 3x 0 cos 3x 0

≠

≠ ⎧ ≠ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ = ∨ = ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ = ⎩ = ± ⎪⎩

sin 4x 0 sin 4x 0 1 sin 3x 0 sin x 2 sin x 0 (VN) sin 3x 1

≠ ⎧ ⎪⎪ ⇔ = ⎨ ⎪ ⎪ − = ⎩ 3

sin 4x 0

1 sin x 2 3sin x 4 sin x 1 ±

≠ ⎧⎪ ⇔⎨ = ⎪⎩ ≠ ⎧⎪ ⇔ π π ⎨ = + π ∨ + π ∈ ⎪⎩ π π ⇔ = + π ∨ = + π ∈

sin 4x 0 1 sin x 2 sin 4x 0 5 x k2 k2 , k 6 6 5 x k2 x k2 , k 6 6

Trường hợp 2 Phương pháp đối lập

Nếu A M B A B ≤ ≤ ⎧ ⎨ = ⎩

thì A B M = =

Bài 159 Giải phương trình: − = + 4 4 sin x cos x sin x cos x (*)

Ta có: (*) ⇔ − = + 2 2 sin x cos x sin x cos x

⇔− = +

≤ ⎧⎪ ⇔⎨ = + ⎪⎩ ≤ ⎧ ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ = = ± − = ⎪ ⎩ ⎩ ⇔ = −

π ⇔ = + π ∈

2

2

cos 2x sin x cos x

cos 2x 0

cos 2x 1 2 sin x cos x

cos 2x 0 cos 2x 0

sin 2x 0 (cos 2x 1) sin 2x 2 sin 2x

cos 2x 1

x k , k 2

Cách khác Ta có − ≤ ≤ ≤ + 4 4 4 x cos x sin x sin x sin x cos x sin

Do đó

= ⎧⎪ ⇔ ⇔ = ⎨ = ⎪⎩ 4 cos x 0 (*) cos x 0 sin x sin x

π = + π ∈ x k , k 2 ⇔

Bài 160: Giải phương trình: ( ) 2 cos2x cos4x 6 2sin 3x (*) − = +

Ta có: (*) 2 2 4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x ⇔ = + • Do: và 2 sin 3x 1 ≤ 2 sin x 1 ≤ nên 2 2 4sin 3x sin x 4 ≤ • Do nên 6 2 ≥− sin 3x 1 sin3x 4 + ≥ Vậy 2 2 4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x ≤ ≤ + Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi

⎧ = ⎧ ⎪ = = ⇔ ⎨ ⎨ = − ⎩ ⎪ = − ⎩

2

2 2 sin 3x 1 sin x 1 sin x 1 sin 3x 1 sin 3x 1

π ⎧ = ± + π ∈ π ⎪ ⇔ ⇔ = + ⎨ ⎪ = − ⎩

π ∈ x k2 , k x k2 , k 2 2 sin 3x 1

Bài 161 Giải phương trình:

3 3 cos x sin x 2cos2x (*) sin x cos x − = +

Điều kiện: si n x 0 cos x 0 ≥ ∧ ≥ Ta có: (*)

( )( ) ( )( ) 2 2 cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x ⇔ − + = − +

( )( )

− = ⎡ ⎢ ⇔ + = + + ⎢⎣

cos x sin x 0 (1)

1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)

Ta có: (1) π ⇔ = ⇔ = + π ∈ tgx 1 x k , k 4

Xét (2) Ta có: khi si thì n x 0 ≥ ≥ ≥ 2 sin x sin x sin x Tương tự ≥ ≥ 2 cos x cos x cos x Vậy si và n x cos x 1 + ≥ sin x cos x 1 + ≥ Suy ra vế phải của (2) thì 2 ≥

Mà vế trái của (2): 1 3 1 sin 2x 2 2 + ≤

Do đó (2) vô nghiệm

Vậy: (*) π ⇔ = + π ∈ x k , k 4

Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x cos x 1 2(*) − − + =

Ta có: (*) 3 cos x 2 cos x 1 ⇔ − = + +

( )

3 cos x 5 cos x 4 cos x 1

2 cos x 1 4 cos x 1

⇔ − = + + +

⇔− + = +

Ta có: ( ) 2 cos x 1 0 x − + ≤ ∀

mà 4 cos x 1 0 x + ≥ ∀ Do đó dấu = của (*) xảy ra cos x 1 ⇔ = − ⇔ = π + π ∈ x k2 , k