Bài tập có đáp án chi tiết về phương trình lượng giác chứa căn và phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối môn toán lớp 12

CHƯƠNG VII

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN Cách giải : Áp dụng các công thức

A 0 B A B 0 A B A ≥ ≥ ⎧ ⎧ = ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ B = = ⎩ ⎩

2 B 0 A B

A B

≥ ⎧ = ⇔⎨ = ⎩

Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng giác nên ta xử lý điều kiện B bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ 0 ≥ các bài toán quá phức tạp.

Bài 138 : Giải phương trình ( ) 5cos x cos2x 2sin x 0 * − + =

( ) * 5cos x cos2x 2sin x ⇔ − = −

2 sin x 0

5cos x cos2x 4sin x

≤ ⎧ ⇔⎨ − = ⎩

( ) ( 2 2 sin x 0

5cos x 2cos x 1 4 1 cos x

≤ ⎧⎪ ⇔⎨ − − = − ⎪⎩ )

= 2 sin x 0

2cos x 5cos x 3 0

≤ ⎧ ⇔⎨ + − ⎩

( )

sin x 0 1 cos x cos x 3 loại 2

≤ ⎧⎪ ⇔⎨ = ∨ = − ⎪⎩

≤ ⎧⎪ ⇔ π ⎨ = ± + π ∈ ⎪⎩ π ⇔ = − + π ∈

sin x 0

x k2 , k 3

x k2 , k 3

Bài 139 : Giải phương trình

3 3 3 3 sin x cos x sin x cot gx cos xtgx 2sin 2x + + + =

Điều kiện :

cos x 0 sin 2x 0 sin x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 sin 2x 0

≠ ⎧ ≠ ⎧ ⎪ ≠ ⇔ ⇔ > ⎨ ⎨ ≥ ⎩ ⎪ ≥ ⎩

Lúc đó :

( )

3 3 2 2 * sin x cos x sin x cos x cos xsin x 2sin 2x ⇔ + + + =

( ) ( ) 2 2 sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin 2x ⇔ + + + =

( )( ) 2 2 sin x cos x sin x cos x 2sin 2x ⇔ + + =

( ) 2 sin x cos x 0

sin x cos x 2sin 2x

+ ≥ ⎧⎪ ⇔⎨ + = ⎪⎩

( )

sin x 0 2 sin x 0 4 4 sin 2x 1 nhận do sin 2x 0 1 sin 2x 2sin 2x

⎧ π ⎛ ⎞ ⎧ π ⎛ ⎞ + ≥ + ≥ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ ⇔ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ = > + = ⎩ ⎩

( )

⎧ π ⎧ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ≥ + ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ π π π ⎪ ⎪ = + π ∈ = + π ∨ = + π ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩

sin x 0 sin x 0 4 4 5 x k , k x m2 x m2 loại , m 4 4 4

π ⇔ = + π ∈ x m2 , m 4

Bài 140 : Giải phương trình ( ) π ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2 1 8sin 2x.cos 2x 2sin 3x * 4 +

Ta có : (*)

2 2

sin 3x 0 4

1 8sin 2x cos 2x 4sin 3x 4

⎧ π ⎛ ⎞ + ≥ ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ π ⎛ ⎞ ⎪+ = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩

+

( )

⎧ π ⎛ ⎞ + ≥ ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ π ⎡ ⎤ ⎪+ + = − + ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩

sin 3x 0 4

1 4 sin 2x 1 cos 4x 2 1 cos( 6x ) 2

( ) (

sin 3x 0 4

1 4sin 2x 2 sin 6x sin 2x 2 1 sin 6x

⎧ π ⎛ ⎞ + ≥ ⎪ ⎜ ⎟ ⇔ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪+ + − = + ⎩ )

⎧ π ⎧ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ≥ + ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ π π ⎪ ⎪ = = + π ∨ = + π ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩

sin 3x 0 sin 3x 0 4 4 1 5 sin 2x x k x k , k 2 12 12

So lại với điều kiện sin 3x 0 4 π ⎛ ⎞ + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Khi x k thì 12

π • = + π

sin 3x sin 3k cosk 4 2 π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + π = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π

( )( )

( )( )

⎡ = ⎢ − ⎢⎣

1 , nếu k chẵn nhận

1, nếu k lẻ loại

π • = + π 5 Khi x k thì 12

π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ + = + π = − + π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

3 sin 3x sin 3k sin k 4 2 2

⎞ ⎟⎠

( ) ( )

− ⎡ = ⎢ ⎢⎣

1,nếu k chẵn loại

1, nếu k lẻ nhận

Do đó ( ) ( ) π π ⇔ = + π ∨ = + + π ∈ 5 * x m2 x 2m 1 , m 12 12

Bài 141 : Giải phương trình ( ) 1 sin 2x 1 sin 2x 4cos x * sin x − + + =

Lúc đó : ( ) * 1 sin 2x 1 sin 2x 2sin 2x ⇔ − + + =

( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )

2 2 2 2 1 sin 2x 4sin 2x sin 2x 0

⎧⎪ + − = ⇔⎨ ≥ ⎪⎩

2 2 1 sin 2x 2sin 2x 1 sin 2x 0

⎧⎪ − = ⇔⎨ ≥ ⎪⎩

−

2 4 2

2

1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1 1 sin 2x 2 sin 2x 0

⎧− = − ⎪⎪ ⇔ ≥ ⎨ ⎪ ≥ ⎪⎩

+

( ) 2 2 sin 2x 4sin 2x 3 0

1 sin 2x 2

⎧ − = ⎪ ⇔⎨ ≥ ⎪⎩

⎧ − = ∨ = ⎪⎪ ⇔⎨ ⎪ ≥ ⎪⎩

3 3 sin 2x sin 2x 2 2 2 sin 2x 2

3 sin 2x 2 ⇔ =