Bài tập có đáp án chi tiết về dãy số và giới hạn môn toán ứng dụng năm 2006 của thầy nguyễn quốc lân

1

BỘMÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK -------------------------------------------------------------------------------------

BGĐT – TOÁN 1

BÀI 1: DÃY SỐ& GIỚI HẠN

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

2

NỘI DUNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1- Khái niệm dãy số. Ba cách xác định dãy số

2- Ý tưởng giới hạn dãy số

3- Định nghĩa giới hạn dãy số. Dãy hội tụ, phân kỳ

4- Tính chất của giới hạn dãy số

5- Phương pháp tìm giới hạn dãy số. Định lý kẹp

6- Dãy đơn điệu. Tiêu chuẩn đơn điệu bịchặn. Sốe

7- Dãy con. Tiêu chuẩn phân kỳ

3

1. KHÁI NIỆM DÃY SỐ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dãy số{xn}: Tập hợp các số đánh sốthứtựliên tiếp nhau:

x1, x2 … xn … x1: sốhạng thứ1, …, xn: sốhạng tổng quát.

VD: Dãy các sốtựnhiên 1, 2, 3, … , n , … ⇒Sốhạng tổng

quát: xn = n với n ≥1.

VD: Dãy nghịch đảo các sốtựnhiên 1, 1/2, 1/3, … , 1/n , …

⇒Sốhạng tổng quát: xn = 1/n, n ≥1.

VD: Dãy 1, –1, 1, –1 … ⇒Sốhạng tổng quát: xn = (–1)n – 1 ,

n ≥1 (hoặc xn = (–1)n , n ≥0: Có thể đánh sốlại dãy số!)

Dãy sốcó sốhạng đầu tiên, nhưng không có sốhạng chót!

4

1. BA CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mô tả(bằng lời): Đặc tính các số

hạng của dãy. VD: Dãy sốtự

nhiên, dãy sốchẵn, sốlẻ…

Công thức (biểu thức sốhạng

tổng quát): xn = f(n) : N →R. VD:

xn = n2 ⇒Dãy sốchính phương

Truy hồi: xn (sốhạng đứng sau)

được tính bởi xn – 1 (sốhạng

đứng trước). VD: 1 2 − + = n n x x

Dãy số{xn} có

thể được xác

định bởi 3 cách:

5

1. VÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các ví dụdãy số được xác định hoặc bằng cách đưa ra

công thức tổng quát, hoặc viết ra vài sốhạng của dãy

{ } { }

  

   ≥ =  

− ≥ − = −   

   + − − − + − =   

   + −   + + =   +

∞

=

∞

=

∞

=

L L

L L

L L

L L

, 6 π cos , ,0,2 1 , 2 3 ,1 0 , 6 π cos 6 π cos

,3 , ,3 ,2 ,1,0 3 ,3 3

, 3 )1 ( )1 (, , 27 4 , 9 3 ,3 2 3 )1 ( )1 ( 3 )1 ( )1 (

,1 , ,4 3 ,3 2 ,2 1 1 1

0

3

1

n n n a n n n n a n

n n a n n n n n a n n

n n

n n

n

n

n

n

n n

n

n n

6

1. VD DÃY XÁC ĐỊNH QUA MÔ TẢ& DÃY TRUY HỒI

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dãy sốcó thể được xác định qua cách mô tả(bằng lời):

(a) Dãy {sn}, với sn – dân sốcủa Việt Nam vào năm thứn

(b) Ký hiệu cn – chữsốthập phân thứn sau dấu phẩy

của sốπ ⇒Dãy {cn} = {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4 … }

Dãy sốxác định theo kiểu truy hồi: Dãy Fibonacci với

công thức truy hồi:

f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2 n ≥3

{fn} = {1,1,2,3,5,8,13,21,…}

7

2. Ý TƯỞNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bằng máy tính, lập bảng giá trịcác sốhạng của 2 dãy số:

1 2 / 2

2

+ = n

n x a n

( )

2 1 2 1 / n y b

n

n − + =

0.5625 0.4848 4

0.46 0.4902 5

0.3889 0.4737 3

0.75 0.4444 2

–0.5 0.3333 1

yn xn n

1x 2x 3x 4x 5x 5.0

5.0 1y 2y 3y 4y 5y

Khi n tăng, sốhạng xn (và yn)

ngày càng tiến sát đến L = 0.5

theo nghĩa: Khoảng cách |xn–L|

sẽrất bé nếu chọn n đủlớn