Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn và dãy số cơ bản môn toán lớp 11 của thầy đỗ cao long

Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long

1/6

PHÂN LOẠI MỘT SỐ GIỚI HẠN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP VỀ DÃY SỐ

• Với c là hằng số, ta có limc c = ; 1 lim 0 n = . Tổng quát ( ) lim 0, 1 k c k n = ≥ .

• Với số thực q thỏa 1 q < thì lim 0 n q = .

• Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn (Xem ñịnh lý 1, SGK) • Phép toán trên dãy số có giới hạn vô cực (lim n u = ±∞)

lim lim 0 lim

n n

n n

u a u v v

= ⇒ =  = +∞

; { }

lim

lim 0 lim

0, 0

dÊu cña

n

n n n n

u a u v a v v n

=   = ⇒ = ∞   > ∀≥

.

Dạng 1: Giới hạn dãy số ( ) ( ) n

f n u g n = , trong ñó ( ) ( ) , f n g n là các ña thức ẩn số n.

Cách giải : Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao nhất trong dãy n u , sau ñó dùng các kết quả nêu trên ñể tính.

Ví dụ 1: Tính

3

1 3 2 3 7 1 lim 4 3 2 n n L n n − + = − + .

Giải: Khi n →+∞ thì 0 n ≠ nên chia cả tử và mẫu của

3

3 2 3 7 1 4 3 2 n n n n − + − + cho 3 n ta ñược

3

3 3 3

1 3 2

3 3 3

3 7 1

lim 4 3 2

n n n n n L n n n n n

− + = − +

2 3

3

7 1 3 3 0 0 3 lim 3 2 4 0 0 4 4

n n

n n

− + − + = = = − + − +

(Ghi chú: 2 3 3 7 1 3 2 lim lim lim lim 0 n n n n = = = = )

Ví dụ 2: Tính

7 6

2 8 3 3 8 3 lim 5 2 n n L n n n − + = + +

Nhận xét: Số mũ cao nhất của n trong giới hạn trên là 8 n nên ta chia cả tử và mẫu cho 8 n . Giải:

7 6

8 8 8

2 8 3

8 8 8

3 8 3

lim 5 2

n n n n n L n n n n n n

− + = + +

2 8

5 7

3 8 3

lim 1 2 5

n n n

n n

− + = + +

0 0 0 0 5 0 0 − + = = + + .

Ví dụ 3: Tính

5

3 2 3 2 4 lim 4 3 n n L n n − + + = + +

Nhận xét: Số mũ cao nhất của n trong giới hạn trên là 5 n nên ta chia cả tử và mẫu cho 5 n . Giải:

5

5 5 5

3 2

5 5 5

3 2 4

lim 4 3

n n n n n L n n n n n

− + + = + +

4 5

3 4 5

2 4 3 lim 1 4 3 n n

n n n

−+ + = + + .

Vì 4 5 2 4 lim 3 3 0 n n   −+ + = −<     và 3 4 5 1 4 3 lim 0 n n n   + + =     nên

4 5

3

3 4 5

2 4 3 lim 1 4 3 n n L

n n n

−+ + = = −∞ + +

Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long

2/6

Các em học sinh cần lưu ý: Không ñược viết theo cách sau

4 5

3

3 4 5

2 4 3 3 0 0 3 lim 1 4 3 0 0 0 0 n n L

n n n

−+ + −+ + − = = = = −∞ + + + + (Sai).

Từ ba ví dụ trên ta có nhận xét:

Với dãy số ( ) ( ) n

f n u g n = , trong ñó ( ) ( ) , f n g n là các ña thức ẩn số n, ta có

♣ Nếu ( ) { } ( ) { } bËc bËc f n g n > thì lim n u = ±∞;

♣ Nếu ( ) { } ( ) { } bËc < bËc f n g n thì lim 0 n u = ;

♣ Nếu ( ) { } ( ) { } bËc = bËc f n g n thì lim n

a u c b = = (hằng số khác 0). Trong ñó a là hệ số

của n có số mũ cao nhất trong ( ) f n ; ñó b là hệ số của n có số mũ cao nhất trong ( ) g n .

Dạng 2: Giới hạn dãy số ( ) ( ) n

f n u g n = , trong ñó ( ) ( ) , f n g n là các biểu thức có chứa căn.

Ta biết, ña thức ( )

1 1 1 0 ... k k k k p x a x a x a x a − − = + + + + có bậc là k ; Ta quy ước (ñễ dễ tính toán, không phải là kiến thức chuẩn ):

Biểu thức 1 1 1 0 ... k k k k a x a x a x a − − + + + + có bậc là 2

k ;

Biểu thức 1 3

1 1 0 ... k k k k a x a x a x a − − + + + + có bậc là 3

k .

Ví dụ: ða thức ( )

6 3 4 3 2 p x n n n = − + có bậc là 6;

Biểu thức 2 3 2 1 n n + + có bậc là 2 1 2 = ; 3 3 7 n n + + có bậc là 3

2 .

Với dạng này ta cũng giải như Dạng 1, tức là chia cả tử và mẫu của dãy số cho n có bậc cao nhất.

Chú ý: 2 2 ; k k n n n n = = và 3 3 3 3 ; k k n n n n = = dùng ñể ñưa các lũy thừa vào trong dấu căn.

Chẳng hạn: ( ) 2 3 2 1 1 n n n n n n + = + = + ; ( )

3 2 6 7 6 3 3 . 2 2 2 n n n n n n + = + = + ;

3 3 3 3 3 5 2 3 3 5 5 2 2 1 2. 2. n n n n n n n = = =

Ví dụ 4: Tính

2

4 2

2 3 lim

3 2 1

n n n L n

+ + + = − + .

Nháp:

Căn 2 2 3 n n + + có bậc bằng 2 1 2 = ; n có bậc bằng 1 nên bậc cao nhất của 2 2 3 n n n + + +

là 1; 2 2 1 n + có bậc là 1 nên 2 3 2 1 n − + có bậc cao nhất là 1.

Vậy ta chia cả tử và mẫu cho 1 2 n n n = = ñể tính.