Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn của hàm số môn toán lớp 11 của thầy trần đình cư

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1

Bài 2. Giới hạn của hàm số

Phương pháp giải bài tập:

Bài tập mẫu:

Bài 1. Cho hàm số

2 2 1 x x y x     . Dùng định nghĩa chứng minh rằng

1 lim ( ) 3 x f x   .

Giải: Hàm số y=f(x) xác định trên  \ 1 . R Giả sử (xn) là dãy số bất kì 1 nx  và 1 nx 

    

2 2 1 2 lim ( ) lim lim lim 2 3 1 1

n n n n n n n n n n n n

x x x x f x x x x               

Bài 2. Cho hàm số neáu 0 ( ) . 2 neáu 0 x x y f x x x

     

Dùng định nghĩa chứng minh hàm số

y=f(x) không có giới hạn khi 0 x 

Giải :

 

 

1 1 Xeùt daõy 0 0

1 lim ( ) lim 0 (1)

1 Xeùt daõy khi ; 0

1 lim ( ) lim 2 2 (2)

Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi 0

n

n n n

n n

n n n

x n n

f x n

x n x n

f x n

x

 

 

           

 

                   BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn: Phương pháp:

1. 

0 0 0 lim ( ) ( ), \ , lim lim ( ) n n n n x x n n f x L x x K x x x f x L         

2. Để chứng minh hàm số f(x) không có giới hạn khi 0 x x  ta thực hiện: Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thoã mãn: xn, yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0  0 0 lim , lim n n n n x x y x    

     Chöùng minh lim lim hoaëc moät trong hai n n n n f x f y    giới

hạn đó không tồn tại

www.VNMATH.com

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2

Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau :

2

3 3 2

3

2 5

9 1 ) lim 6 ) lim 3 1 3 1 ) lim 4 ) lim 3 1

x x

x x

x a b x x x x c d x x

 

 

           Bài 2.

1. Cho hàm số

2

2 neáu 0 ( ) 1 neáu 0

x x f x x x

      

.

a. Vẽđồ thị hàm số f(x). Từđó dựđoán về giới hạn của f(x) khi 0 x  . b. Dùng định nghĩa chứng minh dựđoán trên.

2. Cho hàm số 2 1 ( ) sin f x x  . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi 0 x  .

Bài 3. a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x  b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a) Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng   ;a  . Dùng

định nghĩa chứng minh rằng, nếu

lim ( ) vaø lim ( ) thì lim ( ) ( ) . x x x f x L g x M f x g x L M      

Bài tập mẫu: Bài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:

 

2

1 3

2

2 4 1

2

2

1 )lim 2 1 ) lim 3 3 1 ) lim ) lim 1 4

4 )lim 2 2

x x

x x

x

x a x b x x x c d x x

x e x

 

 



       

 

Giải:

Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện: 1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì  

0 0 lim ( ) x x f x f x  

2. Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn 

www.VNMATH.com

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3

     

2

1

3

2

2 4 4 4

2

1

)lim 2 1 2 1 1 3 1

1 3 1 1 ) lim 3 3 3 3 3 )Ta có: lim 3 1 0 và lim 4 0 nên lim 4

1 ) lim 1

x

x

x x x

x

a x

x b x x c x x x

x d x





  



   

            

  

2

2 4 0 )lim 0 2 2 4 x x e x      Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:

 

 

2 2

2

2 3

3 2 3 3

) lim 2 4 ) lim 4 1

2 2 15 )lim )lim 2 2

x x

x x

a x x b x x

x x c d x x x

 

 

   

    

Đáp số:

2 2

2

) 14

4 1 ) lim 4 1 lim 4 1 11 ) ) 4

x x

a

x x b x x x x

c d

         



Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau:

2

2

2

3 6 ) ( ) khi x 3 1

) ( ) 4 2 5 khi x

) ( ) 3 6 1 khi x 15 ) ( ) khi x 2 2 15 ) ( ) khi x 2 2

x x a y f x x

b y f x x x

c y f x x x x d y f x x x d y f x x





     

    

               Đáp số:

) 3 ) ) ) ) a b c d e    

www.VNMATH.com