Tổng hợp bài tập về dãy số và giới hạn trong đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố năm 2011

1

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN

TRONG ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2011 – 2012 VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

(Lê Phúc Lữ - tổng hợp và giới thiệu)

A – ĐỀ BÀI.

Bài 1. (Quảng Bình, vòng 1)

Cho dãy số   n u xác định như sau , , , , ,... n

n n

u u u n u

    2011 1 1 1 1 1 2 3

Tính lim ... n

n

u u u u u u 

            

2011 2011 2011 1 2

2 3 1

.

Bài 2. (Vĩnh Long, vòng 1)

Cho dãy số   n u xác định bởi  , , , ,... n n n

u

u u u n 

       

1

2 1

3

1 4 1 2 3 5

a) Chứng minh rằng   n u là dãy tăng nhưng không bị chặn trên.

b) Đặt

1

1 , 1,2,3,... 3

n

n

k k v n u      . Tính lim n n v  .

Bài 3. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre) Tìm số hạng tổng quát của dãy  n u thỏa mãn:

1 2

1 2

1

1

. 2

n n n

n n

u u

u u u u u

 



       

Bài 4. (Bình Định, vòng 1)

Cho dãy số   n u được xác định bởi

    n n n

u

u u u 

          

1

2 1

2 3

3 2 2 6 5 3 3 3 2

2

Đặt , , , ,...

n

n

k k v n u     

1

1 1 2 3 2

Tìm lim nv .

Bài 5. (Bình Dương, vòng 2)

Cho dãy số   nx được xác định như sau , n n

n

a x x n x 



             1

1

1 2 2 và , a x   1 0 0 .

Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn của dãy.

Bài 6. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

Cho hai số thực a và b. Xét dãy số nx xác định bởi công thức

0

1 1 . ; n n

x a

x b x n 

      

Tìm điều kiện của ,a b để  nx có giới hạn. Tính giới hạn đó.

Bài 7. (Hà Nam, vòng 2)

Cho dãy số thực (xn) thỏa mãn: 1 1

3 1 , 6 2 1

n n

n

x x x x    

với mọi n nguyên dương.

a. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó.

b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

Bài 8. (Hà Nội, vòng 1)

1. Cho dãy số   n u xác định bởi: u1 = 1 và 1 n n u u n   với mọi 1 n . Tìm

1 lim . n

n n

u u  

2. Cho dãy số  nv xác định bởi: 1 2015 v  và 2 1 2 n n v v   với mọi , , ,... n 1 2 3

Chứng minh rằng

2

1 2 2 2 1 2 lim 2011 . ...

n

n n

v v v v



  .

Bài 9. (Long An, vòng 2)

Cho dãy số xác định bởi , , , ,... n n

n

u

u u n u 

         

1

1

1

3 4 1 2 3 1

Đặt , n n n n x u y u    2 1 2 .

3

a) Chứng minh dãy    , n n x y có giới hạn hữu hạn.

b) Chứng minh   n u có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Bài 10. (Phú Thọ, vòng 1)

Cho dãy số   , , , , ,... n n n u u u u n       1 1

1 4 4 4 1 2 1 2 3 9

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.

Bài 11. (Nam Định, vòng 1)

Xét dãy số   n u thỏa mãn 1 1 1, ( 1) 2, 1 n n n u u u u n      .

Chứng minh rằng   2

1

1 1

n

n k k A u

     là số chính phương với mọi n.

Bài 12. (Cần Thơ, vòng 2) Cho dãy số  nx được xác định bởi:

 

1

2 2 2 1

2011ln 2011 2011 3 n n

x a

x x 

     

Chứng minh rằng dãy số  nx có giới hạn.

Bài 13. (Quảng Ninh, vòng 2)

Cho dãy   nx xác định bởi x a  0 với  ; a  1 2 và  , , , ,...

n x

nx n   1 2 0 1 2 .

Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 14. (Vĩnh Phúc, vòng 1)

Giả sử a là số thực dương thỏa a   0 1. Lập dãy ( ) na như sau

, , n a n a a a a n     1 1 1. Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu han khi n tiến tới vô cực.

Bài 15. (Nam Định, vòng 2) Với mỗi số thực x kí hiệu x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x và   x x x   . Cho

  (45 2012)n n u   . Chứng minh dãy   n u có giới hạn và tìm giới hạn đó.