Bài tập có đáp án chi tiết về dãy số môn toán lớp 11 của thầy huỳnh thanh luân

Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Trang 1

1.1.1.1. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số. 1.1 Bài tập cô thể.

[ ] ( )

( ) ( ) ( )

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1 1; 2, 1.

3 2; 2 , 1

2 3 1 3; 1 3 1, 1 2 2

2 4; 3 3 6 2 3 1 6 2 3 , 1

3 2 1 , .

2 5;

khác hệ số nên ta vẫn giữ nguyên bậc:

n n

n n

n n

n n

u CSC u u n

u CSN u u n

u

u u n

u n n n u u n n

n g n g n g n an b

u

u

−

−

−

−

=  →  = − ∀≥  =  →  = ∀≥  = −  →−= − +  = − ∀≥  =  → = − + + − +      = + ∀≥  = − − = +

= ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

1

2

0 1

1

1

0

1

1

2 1 2 1 2 1 2 1, 1

2 1 1 , .

1 6; 2 2.2 3.2.2 3 2 , 1

2 2 3 2

1 7; 2 2 , 1

2 2 1 2

cùng hệ số nên phải nâng bậc:

n n

n n n n n n

n n n

n n n

n n n

n n n n n u n n

n g n g n g n an bn

u

u u n

a a

u

u u n

n n

−

−

−

−

−

−

     → + = + − − + −      = + + ∀≥  + = − − = +

=  → = − +  = + ∀≥  = −

=  = + ∀≥  = + −

( ) ( ) ( ) ( )

0 1

1 2

0 1

1 2

0 1 2 2 1 2 1 2

0 1

1 2

0

1; 2 8; 5 6 0, 2

1; 3 9; 4 4 0, 2

1; 3 10; 2 2 1 5 1 6 2 , 5 6 2 2 1, 2

1; 4 11; 3 2 2 1, 2

1 12;

n n n

n n n

n n n n

n n n

u u

u u u n

u u

u u u n

u u

n n g n g n g n g n an b c u u u n n n

u u

u u u n n

u

− −

− −

− − −

− −

= =   − + = ∀≥  = =   − + = ∀≥  = − =  → + + = − − + − = + +  − + = + + ∀≥  = =   − + = + ∀≥  = 1

1 2

0 1

1 2

0 1

1 2

0 1

1 2

; 4

2 2 1, 2

1; 3 13; 5 6 2.5 , 2

1; 3 14; 5 6 2.3 , 2

1; 4 15; 4 4 2 , 2

n n n

n n n n

n n n n

n n n n

u

u u u n n

u u

u u u n

u u

u u u n

u u

u u u n

− −

− −

− −

− −

=   − + = + ∀≥  = − =  − + = ∀≥  = − =  − + = ∀≥  = =  − + = ∀≥ 

Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Trang 2

1.2 Xác lập ph−ơng pháp (Ph−ơng pháp sai phân).

1.2.1 Loại thuần nhất: 1 2

0 1 1

, ,...,

... 0, 1

k

n k n k k n

x x x

a x a x a x n + + −

 + + + = ∀≥ 

(1)

Đầu tiên giải ph−ơng trình đặc tr−ng:

( ) 1 0 1 ... 0, * k k k a a a λ λ − + + + = Các tr−ờng hợp xảy ra là: (i) Nếu ( ) * có k nghiệm thực phân biệt 1 2 , ,..., k λ λ λ thì nghiệm của (1) là

1 1 2 2 ... , 1,2,... n n n n k k x c c c n λ λ λ = + + ∀= ( với 1 2 , ,..., k c c c là các hằng số ). (ii) Nếu ( ) * đ−ợc viết lại nh− sau

( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 2 3 ... ... 0 s h k k k q a a a a λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − + + + = − − − − = ,

với các 1 2 3 , , ,..., q λ λ λ λ là khác nhau đôi một. Tức là ( ) * có λ1 là nghiệm bội s, và λ2 là nghiệm bội h, và λ λ 3,..., q là các nghiệm đơn, và ( 2) s h q k + + − = , thì (1) có nghiệm là

( ) 1 3 3 11 12 1 1 ... ... n n s n n q q s x c c c c n c n λ λ λ − = + + + + + + +

( ) 1 21 22 2 2 ... , 1,2,... h n h c c n c n n λ − + + + + ∀= ( với 11 12 1 21 22 2 3 , ,..., , , ,..., , ,..., s h q c c c c c c c c là hằng số) (iii) Nếu ( ) * có k-2 nghiệm phân biệt 1 2 2 , ,..., k λ λ λ − và

( ) cos sin k a bi r i λ ϕ ϕ = + = + (với 2 2 , k k r a b Arg λ ϕ λ = = + = )

là nghiệm phức thì số phức liên hợp ( ) cos sin k a bi r i λ ϕ ϕ = − = − cũng là nghiệm của ( ) * . Khi đó (1) có nghiệm là

( ) 1 1 2 2 2 2 ... cos sin , 1,2,... n n n n n k k x c c c r A n B n n λ λ λ ϕ ϕ − − = + + + + ∀= ( với 1 2 2 , ,..., , , k c c c A B − là các hằng số ). (4i) Nếu ( ) * có s nghiệm thực phân biệt λ λ λ 1 2 , ,..., s và

( ) cos sin q a bi r i λ ϕ ϕ = + = + (với 2 2 , q q r a b Arg λ ϕ λ = = + = ) là nghiệm phức bội h, thì số phức liên hợp

( ) cos sin q a bi r i λ ϕ ϕ = − = − cũng là nghiệm phức bội h của ( ) * . Khi đó (1) có nghiệm tổng quát là

λ λ λ = + + + 1 1 2 2 ... n n n n s s x c c c

( ) ( ) ϕ ϕ …