Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn dãy tổng môn toán lớp 11 trường thpt chuyên nguyễn quang diêu

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

1

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A. Một số kiến thức có liên quan. Định nghĩa 1 Dãy số   n u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có 1 n n u u  

Dãy số   n u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có 1 n n u u  

Định nghĩa 2 Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho , * n u M n  

Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho , * n u m n  

Dãy số   n u được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho , * n m u M n   

Định lý 1 1) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 2) Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Định lí 2 1) Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới . 2) Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới . Định lý 3 1) Nếu một dãy   n u hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ   n u cũng hội tụ đến a.

2)   n u hội tụ đến a   2n u và   2 1 n u  hội tụ đến a

Định lý 4

1) Nếu lim 0 n n u   và 0, nu n   thì 1 lim n n u  

2) Nếu lim n n u   và 0, n u n   thì 1 lim 0 n n u  

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

2

B. Các bài toán. Bài toán 1.

Cho dãy số thực   n u xác định bởi: 1

2 1

2

1, 1 (1) n n n

u

u u u n 

      

Tìm giới hạn sau:

1 1

1 1 1 lim ... n n u u u           .

Hướng dẫn tư duy: + Tính một số số hạng của dãy + Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy   n u

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass

Lời giải  Một số số hạng của dãy: 2,3,7,42,...  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 2 n u  , 1 n 

 Xét tính đơn điệu của   n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n  ,   2 1 1 0 n n n u u u     , vậy   n u tăng.

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

   



1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ( 1,2,...) 1 1 1 1

n n n n n n n

n n

n

n

u u u u u u

u u

u

u

u

n









        

     

 Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1 1 1

1 1 1 1 ... 1 1 n n u u u u      

 Do   n u là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy   n u bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do   n u tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.

Giả sử lim n n u a   thì 2 a  .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2 2 1 2 1 0 1 a a a a a a        (vô lý) 2) Dãy   n u không bị chặn trên, do   n u tăng và không bị chặn trên nên:

  1 1

1 lim lim 1 lim 0 1 n n n n n n u u u          

 Vì thế từ (2) ta suy ra:

1 1 1

1 1 1 1 lim ... lim 1 1 1 n n n n u u u u   

                  

 Vậy

1 1

1 1 1 lim ... 1 n n u u u            .

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

3

Bài toán 2.

Cho dãy số thực   n u xác định bởi:

1

2

1

1

, 1 (1) 2011

n n n

u

u u u n 

     

Tìm giới hạn sau: 1 2

2 3 1 lim ... n

n n

u u u u u u  

         .

Hướng dẫn tư duy: + Tính một số số hạng của dãy + Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy   n u

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass

Lời giải

 Một số số hạng của dãy:

2

3 2012 2012 1, , 1,... 2011 2011 

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 1 n u , 1 n   Xét tính đơn điệu của   n u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n  ,

2

1 0 2011

n n n u u u    , vậy   n u tăng.

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

 

 

 

2 2 1 1

1

1

1

1

1

2011 2011

2001 .

1,2,... ( 1 *) 1 2011

n n n n n n

n n n

n n n

n

n n n

u u u

u u u u u u

u u u u u u

u n

 



 

 

 

    

  









 

 

 Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1 2

2 3 1 1 1 1

1 1 ... 2011 (2 1 2011 1 )

n

n

n n

u u u u u …