Bài tập có đáp án chi tiết về dãy số môn toán lớp 11 của thầy nguyễn văn xa

CHUYÊN ðỀ DÃY SỐ (BDHSG)

1. KHÁI NIỆM DÃY SỐ 1) Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên , ℤ hàm số u : A →ℝ n n u(n) u = ֏

ñược gọi là một dãy số, và kí hiệu là n (u ) hoặc { } n u . Thông thường ta hay chọn A sao cho phần tử nhỏ nhất của A là 1. Dãy (un) gọi là dãy sỗ hữu hạn (hoặc dãy số vô hạn) nếu A là tập hợp gồm hữu hạn (vô hạn) phần tử. Số un ñược gọi là số hạng tổng quát của dãy (un). 2) Dãy số (un) ñược gọi là dãy số tăng (tăng không nghiệm ngặt, giảm, giảm không nghiêm ngặt) nếu n n 1 u u + < (tương ứng n n 1 u u + ≤ , n n 1 u u + > , n n 1 u u + ≥ ) với mọi n A. ∈ 3) Dãy số (un) ñược gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho n k n u u , n A. + = ∀∈ Số k nhỏ nhất thoả mãn tính chất này ñược gọi là chu kì của dãy tuần hoàn (un). Nếu k = 1 thì ta ñược một dãy hằng (tất cả các số hạng bằng nhau). 4) Dãy số (un) ñược gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho n u M ≤ với mọi n A. ∈ Dãy số (un) ñược gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho n u m ≥ với mọi n A. ∈ Dãy số (un) ñược gọi là bị chặn (hoặc giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số thực M, m sao cho n m u M ≤ ≤ với mọi

n A, ∈ hoặc tồn tại số thực C sao cho n u C, n A. ≤ ∀∈ Dãy số hữu hạn hoặc tuần hoàn thì luôn bị chặn.

2. CẤP SỐ 1) Cấp số cộng - Dãy số (un) ñược gọi là cấp số cộng nếu mọi số hạng ñều thoả mãn n 1 n u u d + − = (d: hằng số, gọi là công sai). - Công thức truy hồi: n 1 n u u d. + = + Công thức số hạng tổng quát: n 1 u u (n 1)d, n A. = + − ∀∈ Công thức tính

tổng n số hạng ñầu tiên: n 1 n 1 1 n n n(n 1) S (u u ) (2u (n 1)d) nu d. 2 2 2 − = + = + − = + Tính chất các số hạng:

k 1 k 1 k u u 2u . + − + = 2) Cấp số nhân - Dãy số (un) ñược gọi là cấp số nhân nếu mọi số hạng ñều thoả mãn n 1 n u u .q + = (q: hằng số, gọi là công bội).

- Công thức truy hồi: n 1 n u u .q. + = Công thức số hạng tổng quát: n 1 n 1 u u .q . − = Công thức tính tổng n số hạng

ñầu tiên: n 1 S nu = nếu q = 1,

n 1

n 1 1 q S u 1 q

+ − = − nếu q 1. ≠ Tính chất các số hạng: 2 k 1 k 1 k u .u u . + −=

3) Cấp số nhân cộng - Dãy số (un) ñược gọi là cấp số nhân cộng nếu mọi số hạng ñều thoả mãn n 1 n u u .q d + = + (q, d là hằng số). 4) Cấp số ñiều hoà

- Dãy số (un) ñược gọi là cấp số ñiều hoà nếu mọi số hạng của nó ñều khác 0 và thoả mãn n 1 n 1 n n 1 n 1

2u u u , u u − +

− + = +

hay

n n 1 n 1

1 1 1 1 ( ). u 2 u u − + = + (Học sinh tự ôn tập các dạng toán về cấp số)

3. XÁC ðỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 3.1. DỰ ðOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUI NẠP BÀI TẬP 1) Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số cho bởi:

n 1 n 1 1 n 1 n n

2 n 1 n 1 n n 1 n 1 n

u a)u 1,u , n 1,2,3,... b)u 2,u 2 u , n 1,2,3,... 1 u

3 1 ( 3 1)u 3 5 3 1 c)u 1,u u u 1, n 1,2,3,... d)u ,u , n 1,2,3,. 2 2 3 1 3 1 ( 3 1)u

+ +

+ +

= = ∀= = = + ∀= +

−+ + − = = − + + ∀= = = ∀= + + − −

..

xa.nguyenvan@gmail.com

www.VNMATH.com

2 2 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 1 e)u ,u 2u 1, n 1,2,3,... f)u ,u 2u 1 u , n 1,2,3,... 2 2 + + = = − ∀= = = − ∀=

3.2. MỘT SỐ DẠNG TRUY HỒI ðẶC BIỆT Với dãy số cho bởi công thức truy hồi dạng n 1 n u u f(n) + = + thì n 1 u u f(1) f (2) ... f(n 1). = + + + + −

Với dãy số cho bởi công thức truy hồi dạng n 1 n u u .g(n) + = thì n 1 u u .g(1).g(2)...g(n 1). = − BÀI TẬP 2) Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số cho bởi:

2 n 1 n 1 n 1 n 1

3 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n

1 n 1 n

(n 1) u a)u 1,u u n!.n, n 1,2,3,... b)u 1,u , n 1,2,3,... n(n 2)

c)u 1,u u n 3n 3n 1, n 1,2,3,... d)u 3,u u 3 , n 1,2,3,...

e)u 1,u u (n 1).

+ +

+ +

+

+ = = + ∀= = = ∀= +

= = + + − + ∀= = = + ∀=

= = + + n 1 n 1 n

2

1 n 1 n 1 n 1 n

1 2 , n 1,2,3,... f)u 2,u 2 , n 1,2,3,... u

n 1 n g)u 1,u u , n 1,2,3,... h)u 0,u (1 u ), n 1,2,3,... n n 1

+

+ +

∀= = = − ∀=

− = = ∀= = = + ∀= +

3.3. PHƯƠNG TRÌNH ðẶC TRƯNG Ta chỉ xét hai trường hợp ñơn giản sau ñây:

a) Xét dãy số (un) cho bởi 1 2 n 2 n 1 n u ,u ,u a.u b.u , n * (a,b const). + + = + ∀∈ = ℕ Khi ñó phương trình 2 x ax b 0 − − = ñược gọi là phương trình ñặc trưng của dãy số ñã cho.

Nếu …