Bài tập có đáp án chi tiết về biến đổi ước lượng để tìm giới hạn dãy tổng môn toán lớp 11 của vnmath

biến đổi, khai triển và ước lược đểtìm giới hạn dãy tổng

laisac biên soạn

Trong các kì thi Oluympic , HSG ta thường thấy có nhiều bài toán tìm giới hạn dãy tổng. Đôi lúc, đểgiải được dạng này ta phải biến đổi từđiều kiện giảthiết đã cho của dãy, từđó khai triển và ước lược đểđưa vềdãy tổng cần tìm đơn giản hơn , ta có thểtính được giới hạn của nó .

Dưới đây là các bài toán của tác giảvà sưu tầm lấy từtạp chí Toán Học và Tuổi Trẻđểminh họa cho chuyên đềnày.

Bài 1:Xét dãy số(xn) (n=1,2,3.....) được xác định bỡi :x1 = 2 và xn+1 = 1

2(x2 n + 1) với mọi n =1,2,3...

Đặt Sn = 1 1 + x1 + 1 1 + x2 + .... + 1 1 + xn .

Tính phần nguyên của S2009 và tính giới hạn của Sn khi n tăng lên vô hạn.

HD:Ta có thểtổng quát bài toán như sau:

Cho dãy un thỏa mãn

 



u1 = a

un+1 = u2 n −(b + c)un + c2

b −c

Tính chứng minh Sn = nP

i=1

1 ui + b = 1 u1 + c − 1 un+1 + c.

Thật vậy, ta biến đổi un+1 = u2 n −(b + c)un + c2

b −c

⇒un+1 + c = u2 n −(b + c)un + bc

b −c = (un + b)(un + c)

b −c ⇒ 1 un+1 + c = 1 un + c − 1 un + b ⇒ 1 un + b = 1 un + c − 1 un+1 + c Khai triển và ước lược dãy: 1 u1 + b = 1 u1 + c − 1 u2 + c 1 u2 + b = 1 u2 + c − 1 u3 + c . . . 1 un + b = 1 un + c − 1 un+1 + c

Do đó Sn = 1 u1 + c − 1 un+1 + c Vận dụng:Ta có thểgiải bài toán trên bằng phép biến đổi này (b=1,c=-1)

Khi đó Sn = 1 u1 −1 − 1 un −1 = 1 − 1 un −1

Mà un+1 −un = 1

2(un −1)2 > 0 , ∀n ∈N ∗⇒un là dãy tăng ⇒2 = u1 ≤u2 ≤u3 ≤....

Giảsửlimun = a(a > 2) ⇒2a = a2 + 1 ⇒a = 1 (vô lí)

Vậy limun = ∞⇒lim 1 un −1 = 0

1

www.VNMATH.com

Do đó phần nguyên S2009 = 0 vì 0 < 1 u2009 −1 < 1 và limSn = 1

Bài 2: Cho dãy un thỏa mãn: u1 = 2009 un+1 = u2 n −un + 1 . Tính lim nP

i=1

1 un .

HD: Ta có un+1 −un = (un −1)2 > 0 , ∀n ∈N ∗⇒un là dãy tăng Giảsử(un) có giới hạn. Đặt limun = L(L > 2009) Ta có L = L2 −L + 1 ⇒L = 1 (vô lí)

⇒limun = ∞⇒lim 1

un = 0

Ta còn có un+1 = u2 n −un + 1 ⇒un+1 −1 = un(un −1)

⇒ 1 un+1 −1 = 1 un(un −1) = 1 un −1 −1

un

Vậy 1

un = 1 un −1 − 1 un+1 −1 Khai triển và ước lược ta có : 1 u1 = 1 u1 −1 − 1 u2 −1 1 u2 = 1 u2 −1 − 1 u3 −1 . . . Sn = nP

i=1

1 ui = 1 u1 −1 − 1 un+1 −1 ⇒limSn = lim( 1 2009 −1 − 1 un+1 −1) = 1 2008 Bài 3: Cho dãy sốxn, n = 1, 2, 3... được xác định như sau: x1 = 1 và xn+1 = p

xn(xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + 1 với n = 1, 2, ...

Đặt yn = nP

i=1

1 xi + 2, (n = 1, 2, ....) .Tính giới hạn của yn khi n dần đến vô tận.

HD: Ta có: xn+1 = p

(x2n + 3xn)(x2 + 3xn + 2) + 1 = p

t(t + 2) + 1 = p

(t + 1)2 = x2 n + 3xn + 1 trong đó 0 < t = x2 n + 3xn. Xét xn+1 −xn = (xn + 1)2 > 0, ∀n ∈N ∗⇒(xn) là dãy tăng Giảsử:limxn = a(a > 1) ⇒a = a2 + 3a + 1 , vô nghiệm(vì a>1) ⇒limxn = ∞ 1 xn+1 + 1 = 1 x2 n + 3xn + 2 = 1 xn + 1 − 1 xn + 2 ⇒ 1 xn + 2 = 1 xn + 1 − 1 xn+1 + 1 Khai triển và ước lược ta có: 1 x1 + 2 = 1 x1 + 1 − 1 x2 + 1 1 x2 + 2 = 1 x2 + 1 − 1 x3 + 1 . . . ⇒limyn = lim( 1 x1 + 1 − 1 xn+1 + 1) = 1

2.

Bài 4: Cho dãy sốan xác định bỡi: a1 = 1; a2 = 3 an+2 = 2an+1 −an + 1 n=1,2,3...

Tính giới hạn tổng Sn = 1

a1 + 1

a2 + ... + 1

an . Khi n dần đến vô tận.

HD: Cách 1: Ta chứng minh :an = n(n + 1)

2 .

Thật vậy: Theo phương pháp qui nạp. Ta nhận thấy a1, a2 đúng

2

www.VNMATH.com