Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn và đạo hàm liên tục môn toán lớp 11 của thầy phan công tuấn du và trần công diêu

lim xCHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN

PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang

1

2

2 0

ln(cos ) lim (?) ln(cos ) x

ax a T bx b   

SỞ GD & ĐT KHÁNH HÒA TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN

Trần Công Diêu Phan Công Tuân Du Quản Trị Viên Diễn Đàn MS www.forum.mathscope.org

Năm học 2008 - 2009

www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán,..

lim xCHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN

PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang

3

Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số  Kiến thức cơ bản cần nắm ( không nắm out lun, hehe )

 Giới hạn

0

( ) lim ( ) x x

f x g x  , trong đó ( ); ( ) f x g x cùng dần tới 0 khi x dần tới 0x được gọi là giới hạn

dạng 0

0 . Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay!

@ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau. Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, bình thường thôi!

 Khái niệm giới hạn dãy số:   1 2 ( ) , ,..., ;... n n a a a a  có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ

số nào đó, mọi số hạng na đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận

hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu lim n n a a  

Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân cận của đồng bằng sông hồng … ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này  Khái niệm giới hạn hàm số được xây dựng dựa trên khái niệm trên: x a  thì ( ) ( ) f x f a  hay lim ( ) ( ) x a f x f a  

 Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:



0

sinx lim 1 x x  ;

0

1 lim 1

x

x

e

x 





0

ln(1 ) lim 1 x

x x 

 ;

1

0 0 1 lim 1 lim(1 )

x

x

x x x e x            



2

2 0 0 sin 1 cos lim 1;lim , , 0 ax 2 x x ax ax a a R a x  

     ( * )( cái này có được vì sao? )

@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn

 Thí dụ 1. Tìm giới hạn

3

0

2 1 8 lim

x

x x T x 

    ( ĐHQGHN 1997 )

Lời giải. ( bạn đang cười vì : ‘ tôi làm nó quá nhiều ‘ ) Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau

3

0 0 2( 1 1) (2 8 ) lim lim x x x x T x x         tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách

nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:

www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán,..

lim xCHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN

PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang

4

Đặt 3 1 ; 8 u x v x     thì 2 3 1; 8 ; , 2 x u x v u v      . Như vậy chúng ta có thể viết:  

2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 lim lim lim lim 1 8 1 4 2 3 12 4 u v u v u v T u v u v v                   (cách giải này có cái hay là

chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu điểm hơn qua bài toán sau:

 Thí dụ 2. Tìm giới hạn

5 4

1

2 1 2 lim 1 x

x x T x 

    ( ĐHSPHN 1999 )

ĐS: 7 10 T  , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen!

Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem

bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: ( ) ( ) lim

n m

x a

f x g x T x a 

   số bạn cần tìm là:

( ) ( ) n m f a g a  nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khó hơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không.

 Thí dụ 3. Tìm giới hạn 2 0

1 cos cos2 lim

x

x x T x …