Bài tập về dãy số cấp số cộng và cấp số nhân môn toán lớp 11 của mathvn

-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-

-Trang 1-

Bài tập Chương 3. DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. Dạng 1. Chứng minh quy nạp -PP: Chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi , n n p ∈ ≥  . +(Bước cơ sở) *Kiểm tra A(p) đúng. +(Bước quy nạp) *Giả sử A(k) đúng (với k p ≥ ). Ta chứng minh A(k+1) cũng đúng. Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi , n n p ∈ ≥  ./. -Một số bài toán. Bài 1. Chứng minh bằng quy nạp. a) 2 * 1.2 2.5 ... .(3 1) ( 1), ; n n n n n + + + − = + ∀∈

b) * 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ... 1 , ; 4 9 16 ( 1) 2( 1) n n n n   +     − − − − = ∀∈       + +      



c) 3 3 * 3 26 27 169, n n n + − − ∀∈  ; d)

5 4 3

5 2 3 30 n n n n + + − luôn là số nguyên với * n ∀∈;

e) * 1 1 1 1 ... , ; 1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1) 3 1 n n n n n + + + + = ∀∈ − + + 

f)

1 2 2 2 1 2 * ( 1) ( 1) 1 2 3 ... ( 1) , ; 2

n n n n n n

− − − + − + − + − = ∀∈

g) * 2 ( 1) sin sin ... sin 2sin sin , ; 3 3 3 6 6 n n n n π π π π π + + + + = ∀∈

h) 2 4 (2 )!, , 1; 1 ( !)

n n n n n n < ∀∈ > +  i) 2 2 2 * ... 1, x x x x n + + + < + ∀∈ (n dấu căn);

j) 1

1 * 2 2 2 1 2 2 1 2 ... , , 1; 1 1 1 1 1

n n

n n n x x x x x x

+

+ + + + = + ∀∈ ≠ + + − + −



Bài 2. Cho n số dương , 1,..., ( 2) ix i n n = ≥ . Chứng minh rằng:

1 2 1 2 (1 )(1 )...(1 ) 1 ... n n x x x x x x + + + > + + + +

Bài 3. Gọi a là một nghiệm của phương trình: 2 3 1 0 x x − + = . Chứng minh rằng 1 n n n x a a = + là số nguyên

với n ∀∈.

HD. + 2 1 1 3 3 a a a a + = ⇔ + = và 1 1 1 . k k k x x x x + − = − .

Bài 4. Giả sử cosθ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với * n ∀∈, cos nθ cũng là số hữu tỉ. HD. + cos( 1) cos cos sin .sin n n n θ θ θ θ θ + = − . Dạng 2. Toán dãy số. *Tìm các số hạng của dãy số.

1. Cho dãy số (un) xác định bởi: 2 2 5 1 n n u n

+ = + .

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy. b) Tìm n sao cho 1 5 n u = . (ĐS. b) n=12 )

2. Cho dãy số (un) xác định bởi:

khi n chan 2 1 1 khi n le 1

n

n n u n n

 − = −  + 

.

a) Viết 4 số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh mọi số hạng của dãy đều khác nhau.

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM

-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-

-Trang 2-

3. Cho dãy số (un) xác định bởi: cos 3 n

n u π = .

a) Viết 6 số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị. 4. Cho dãy số (un) xác định như sau: un là số dư khi chia n cho 6. a) Xác định 7 số hạng đầu của dãy; b) Nếu um = un, chứng minh rằng : 6 m n − . *Tìm công thức tổng quát của dãy số. 1. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=5 và un+1=3.un , * n ∀∈. Chứng minh rằng: un=5.3n-1. 2. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và un+1=3.un + 2n, * n ∀∈.

Chứng minh rằng: 1 1 5 .3 2 2

n nu n − = − − + .

3. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và un+1=3.un + * 1 2 , 2

n n − ∈.

Chứng minh rằng: un= ( ) 1 1 3 2

n n −+ .

*Xét tính đơn điệu của dãy số. 1. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) 2011

n

n u

n

− = ; b) 2011 1 2011 1

n

n n u − = + ; c) !

1 n

n u n = + ; d) ( 1)

2011

n

n u n

− = +

2. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=3 và un+1= 5

3 .u1 , * n ∀∈.

a) Chứng minh rằng dãy (un) tăng; b) Tìm n để un > 10000

3. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1và un+1= 2 3 3

n u + , * n ∀∈.

a) Chứng minh rằng (un) bị chặn bởi 3; b) Chứng minh (un) là dãy tăng.

3. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3, un+1 =

2

* 2 , 2

n

n

u u + ∀∈. Chứng minh dãy (un) giảm.

*Xét tính bị chặn của dãy số. 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau đây:

a)

1 3 ( 1) 2 2

n

n n u n

+ + − = + ; b)

2 2 3

2 1 n n u n

+ =

+

; c)

2 1 2 1 n n u n n =

+ + −

; d) 2011 2 1 n u n = + ;

e) 2sin( 1) 3cos ; nu n n = + − f) 1 1 1 ... 1 2 nu n n n n = + + + + + + ;

g)

( ) ( ) ( )

1 1 1 ... 1 2 n u

n n n n n n n = + + + + + +

; i)

2 2 2 sin 1 sin 2 sin ... 1.2 2.3 ( 1) n

n u n n = + + + +

2*. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, u2 = 2 và un+1 = un + 1 2 1

, 2 1

n

n

u n u

−

−

≥ + .

a) Bằng quy nạp chứng minh rằng: 1

1

n n

n u u u + = + . Từ đó suy ra dãy (un) tăng.

b) Đặt n n

u v

n = . Chứng minh dãy số (vn) bị chặn.

*Một số bài toán khác.

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM